专题10 直线与圆的位置关系（分层训练）-【教育机构专用】2021年暑期高一升高二数学辅导讲义（人教A版）

专题10 直线与圆的位置关系 A组 基础巩固 1．（2021·江西景德镇市·景德镇一中高一期末）过点引直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 通过曲线方程确定曲线表示单位圆在轴上方的部分（含与轴的交点），直线与曲线有两个交点，且直线不与轴重合，从而确定直线斜率，用含的式子表示出三角形的面积，利用二次函数求最值，确定直线斜率的值． 【详解】 解：由，得 曲线表示单位圆在轴上方的部分（含与轴的交点） 由题知，直线斜率存在，设直线的斜率为， 若直线与曲线有两个交点，且直线不与轴重合则 直线的方程为： 即 则圆心到直线的距离 直线被半圆所截得的弦长为 ， 令 则 当，即时 有最大值为 此时 又 ． 故选：． 2．（2021·云南师大附中高二期中（理））已知在圆上到直线的距离为的点恰有三个，则（ ） A． B． C． D．8 【答案】C 【分析】 求出圆心到直线的距离，结合题意即可求得的值． 【详解】 解：因为圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离， 因为在圆上到直线的距离为的点恰有三个， 所以． 故选：． 3．（2021·全国高三其他模拟（理））阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，他证明过这样一个命题：平面内与两个定点距离的比为常数的点的轨还是圆，后人把这个国称为阿波罗尼斯圆，已知定点、，动点满足，则动点的轨迹为一个阿波罗尼斯圆，记此圆为圆，已知点在圆上（点在第一象限），交圆于点，连接并延长交圆于点，连接，当时，直线的斜率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 设点，根据求出点的轨迹方程，过圆心作于点，求出、，可求出的值，利用同角三角函数的基本关系可求得直线的斜率. 【详解】 如图所示，设动点，则， 化简可得，化为标准方程可得圆． 因为，，则为等边三角形， 过圆心作于点，则，， 所以，所以， 故选：A． 4．（2021·浙江高二期末）直线与圆的位置关系是（ ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定 【答案】B 【分析】 求出直线恒过的定点，判断定点与圆的位置关系即可求解. 【详解】 解：直线，即， 由得，所以直线恒过定点， 因为，所以定点在圆内，所以直线与圆相交， 故选：B. 5．（2021·全国高二专题练习）已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点，且点在直线上，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 将两圆的方程相减可得公共弦方程，从而求得定点，利用点在直线上可得，再代入消元，转化成一元二次函数的取值范围； 【详解】 解：由圆，圆， 得圆与圆的公共弦所在直线方程为，求得定点， 又在直线上，，即. ∴，∴的取值范围是. 故选：A. 【点睛】 本题考查圆的公共弦方程求解、一元二次函数的最值，考查转化与化归思想的运用. 6．（2021·渝中区·重庆巴蜀中学高一期中）如图，某个圆拱桥的水面跨度是20米，拱顶离水面4米；当水面下降1米后，桥在水面的跨度为（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】 以圆拱桥的顶点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设圆拱所在圆的圆心为，，得到圆的方程，记水面下降前与圆的两交点为，；记水面下降米后与圆的两交点为，；由题中条件，得到点坐标，代入圆的方程求出，再求出点横坐标，即可得出结果. 【详解】 以圆拱桥的顶点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则圆拱所在圆的圆心位于轴负半轴上，设该圆的圆心为，， 则该圆的方程为， 记水面下降前与圆的两交点为，；记水面下降米后与圆的两交点为，； 由题意可得，，则，解得， 所以圆的方程为， 水面位下降米后，可知点纵坐标为， 所以，解得， 则此时的桥在水面的跨度为米. 故选：C. 【点睛】 思路点睛： 求解圆的应用问题时，一般需要结合题中条件，建立适当的坐标系，求出所需圆的方程，再由圆的方程进行求解即可. 7．（2021·广西来宾市·高三其他模拟（理））若圆与圆相交，则正实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据两圆相交，由求解. 【详解】 ， 因为圆与圆相交， 所以， 解得． 故选：A 8．（2021·河北衡水中学高三其他模拟）若实数满足条件，则的范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 的几何意义即圆上的点到定点的斜率，求得斜率取值范围即可. 【详解】 的几何意义即圆上的点到定点的斜率，由图知，斜率的范围处在圆的两条切线斜率之间，其中AC斜率不存在，设AB的斜率为k， 则AB的方程为， 由切线性质有，，解得，故的取值范围为， 9．（2021·全国高三其他模拟（理））已知圆：()，直线：与直线