专题08 直线的方程（重难点突破）-【教育机构专用】2021年暑期高一升高二数学辅导讲义（人教A版）

专题08 直线方程 一、考情分析 二、经验分享 1、直线的点斜式方程 已知直线l经过点，且斜率为k，则直线l的方程为 . 这个方程是由直线上一定点及其斜率确定的，因此称为直线的 ，简称 . （1）.当直线l的倾斜角为0°时(如图1)，,即k=0,这时直线l与x轴平行或重合，l的方程就是,或. （2）.当直线l的倾斜角为90°时(如图2)，直线没有斜率，这时直线l与y轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示.因为这时l上每一点的横坐标都等于，所以它的方程是,或. 【名师提醒】 （1）当直线的斜率存在时，才能用直线的点斜式方程. （2）当取任意实数时，方程表示过定点的无数条直线. 2、直线的斜截式方程 我们把直线l与y轴交点的纵坐标b叫做直线l在y轴上的 . 如果直线l的斜率为k，且在y轴上的截距为b，则方程为，即 叫做直线的 ，简称 . ①当b=0时，表示过原点的直线；②当k=0且b≠0时，表示与x轴平行的直线；③当k=0且b=0时，表示与x轴重合的直线. 【名师提醒】 （1）纵截距不是距离，它是直线与y轴交点的纵坐标，所以可取一切实数，即可为正数、零或负数. 纵截距也可能不存在，比如当直线与y轴平行时. （2）由于有些直线没有斜率，即有些直线在y轴上没有截距，所以并非所有直线都可以用斜截式表示. 3、直线的两点式方程 已知直线过两点,当时，直线的方程为 .这个方程是由直线上的两点确定的，因此称为直线的两点式方程，简称两点式. 4、直线的截距式方程 已知直线过点，()，则由直线的两点式方程可以得到直线的方程为 ___________. 我们把直线与轴的交点的横坐标叫做直线在轴上的_____________，此时直线在轴上的截距是 ___________. 这个方程由直线在两个坐标轴上的截距和确定，因此叫做直线的截距式方程，简称截距式. 5、中点坐标公式 若点的坐标分别为，且线段的中点的坐标为,则.此公式为线段的中点坐标公式. 6、直线的一般式方程 在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程 (其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式. 【直线的一般式与斜截式、截距式的互化】 直线的一般式、斜截式、截距式如下表： 一般式 斜截式 截距式 不同时为0) 都不为0) 直线的一般式方程可以表示坐标平面内任意一条直线.因此在一定条件下，直线的一般式方程可以进行如下转化： （1）当时,可化为,它表示在y轴上的截距为 ,斜率为 的直线. （2）当均不为零时，可化为，它表示在x轴上的截距为 ，在y轴上的截距为 的直线. 7、直线系方程 1．平行直线系方程 把平面内具有相同方向的直线的全体称为平行直线系.一般地，与直线平行的直线系方程都可表示为 (其中为参数且≠C)，然后依据题设中另一个条件来确定的值. 2．垂直直线系方程 一般地，与直线垂直的直线系方程都可表示为 (其中为参数），然后依据题设中的另一个条件来确定的值. 8、一般式方程中两直线平行与垂直的条件 若两条直线的方程是用一般式给出的,设直线的方程分别为,， 则可以在条件允许时将两方程化为斜截式方程，从而得出两直线平行与垂直的结论如下： （1）若，当斜率存在时，；当斜率不存在时，且. 即,且或. （2）若，当斜率存在时，；当斜率不存在时，或. 即. 三、题型分析 (一) 直线的点斜式方程与斜截式方程 例1．（1）（2021·全国高二课时练习）过点，倾斜角为150°的直线方程为（ ） A．y－2＝－ (x＋4) B．y－(－2)＝－ (x－4) C．y－(－2)＝ (x－4) D．y－2＝ (x＋4) 【答案】B 【分析】 求出直线的倾斜角的正切值即为直线的斜率，又直线过点，则由求出的斜率和点的坐标写出直线的方程即可 【详解】 由直线的倾斜角为，得到直线的斜率 又直线过点 则直线的方程为 故选：B (2)．（2019·贵州高二学业考试）过点且与直线平行的直线方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据直线平行，先设所求直线的一般方程，再将已知点代入，即可得出结果. 【详解】 因为所求直线与直线平行，所以可设所求直线方程为， 又该直线过点，则，即， 因此所求直线方程为. 故选：A. 【变式训练1-1】．（2021·全国高一课时练习）倾斜角为且在轴上的截距为的直线方程为（ ） A． B． C． D．