专题07 直线的倾斜角与斜率（重难点突破）-【教育机构专用】2021年暑期高一升高二数学辅导讲义（人教A版）

专题07 直线的倾斜角与斜率 一、考情分析 二、经验分享 一、直线的倾斜角 1．直线的确定 在平面直角坐标系中，确定一条直线位置的几何要素是：已知直线上的一点和这条直线的方向，二者缺一不可. 2．直线倾斜角的概念 当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l 方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角. 【倾斜角与倾斜程度】 平面直角坐标系内每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等.因此，我们可用倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度. 3．倾斜角的取值范围 当直线l与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°.因此,直线的倾斜角α的取值范围是 . 如下图：的倾斜角为0°，的倾斜角为锐角，的倾斜角为直角，的倾斜角为钝角. 二、直线的斜率 1．斜率的定义 我们把一条直线的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率，通常用小写字母k表示，即. 【特别提醒】：倾斜角是90°的直线没有斜率. 2．斜率与倾斜角之间的关系 ①当直线的倾斜角α=0°时，斜率k=0，直线与x轴 ； ②当0°<α<90°时，斜率k>0，且k值增大，倾斜角随着 ； ③当α=90°时，斜率k (此时直线是存在的，直线与x轴垂直）； ④当90°<α<180°时，斜率k<0，且k值增大，倾斜角也随着 . 3．直线的倾斜程度 （1）倾斜角α不是90°的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同.因此，我们可以用 表示直线的倾斜程度. （2）直线的斜率和倾斜角都是刻画直线倾斜程度的量，斜率侧重于代数角度，倾斜角侧重于几何角度. 三、过两点的直线的斜率公式 1．公式 经过两点的直线的斜率公式为 . 【名师提醒】 （1）当直线的倾斜角为时，斜率公式不适用，因此在研究直线的斜率问题时，一定要注意斜率的存在与不存在两种情况. （2）斜率计算公式中的值与所选取的两点在直线上的位置无关，两纵坐标和两横坐标在公式中的次序可以同时调换. （3）当直线与轴平行或重合时，直线的斜率公式成立，此时. 四、两直线平行 1．特殊情况下的两条直线平行的判定 两条直线中有一条直线没有斜率，当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为 ，故它们互相平行. 2．两条直线的斜率都存在时，两条直线平行的判定 两条直线都有斜率而且不重合时，如果它们平行，那么它们的 相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们 ，即. 五、两直线垂直 1．特殊情况下的两条直线垂直的判定 当两条直线中有一条直线没有斜率，另一条直线的斜率为0时，即一条直线的倾斜角为 ，另一条直线的倾斜角为 时，两条直线互相垂直. 2．两条直线的斜率都存在时，两条直线垂直的判定 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于 ；反之，如果两条直线的斜率之积等于−1，那么它们互相 ，即. 三、题型分析 重难点题型突破1 求直线的斜率 （1）已知倾斜角求斜率时，若，根据公式直接计算.当倾斜角未给出时，可根据直线与其他直线的位置关系(如平行、垂直等)确定出所求直线的倾斜角，再代入计算. （2）已知两点求直线的斜率时，首先应检验两点的横坐标是否相等.若相等，则斜率不存在；若不相等，则可用斜率公式直接计算. 例1．（1）（2020·贵州高二学业考试）过点和点的直线的斜率为（ ） A．-1 B．3 C．5 D．7 【答案】D 【分析】 根据两点所在直线的斜率即可求解. 【详解】 因为点、， 所以斜率为， 所以过点和点的直线的斜率为， 故选：D. （2）．（2019·四川南充市·阆中中学高二月考（文））若直线过点，，则直线的倾斜角是（ ) A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】B 【分析】 由两点求斜率公式求得直线l的斜率，再由倾斜角的正切值等于斜率求得直线l的倾斜角． 【详解】 ∵直线l经过点， ∴， 设直线l的倾斜角为α，（0°≤α＜180°）， 则tan，α=45°． 故选B． 【点睛】 本题考查了两点求斜率公式，考查了直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题． 【变式训练1-1】．（2020·辽宁高二期中）如图所示，若直线，，的斜率分别为，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据直线的斜率与倾斜角的关系即可求解. 【详解】 设直线，，的倾斜角分别为，， 由图知直线的倾斜角为锐角，所以， 直线的倾斜角，为钝角，所以， 当倾斜角为钝角时，倾斜角越大斜率越大， ，所以， 所以， 故选：A. 【变式训练1-2】．（2021·广东揭阳市·高三其他模拟）已知倾斜角为的直线与直线