专题02 勾股定理的四种实际应用-【B卷必考】2021-2022学年八年级数学上册压轴题攻略（北师大版，成都专用）

专题02 勾股定理的四种实际应用 【基础知识点】 勾股定理的实际应用有很多，有梯子滑落问题、最短距离问题，树枝旗子折断问题，航海是否有影响问题等等，构造直角三角形是解决问题的关键。 类型一、梯子滑落高度问题 例1.如图，一架梯子斜靠在一竖直的墙上，这时，．梯子顶端沿墙下滑至点，使，同时，梯子底端也外移至点．求的长度．（结果保留根号） 【答案】 【解析】在中，，，， 根据勾股定理知，，， 在和中，，， ，，． 【变式训练1】如图所示，一架梯子AB斜靠在墙面上，且AB的长为2.5米． （1）若梯子底端离墙角的距离OB为1.5米，求这个梯子的顶端A距地面有多高？ （2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端A下滑0.5米到点A'，那么梯子的底端B在水平方向滑动的距离BB'为多少米？ 【答案】（1）梯子距离地面的高度为米；（2）梯子的底端水平后移了0.5米． 【解析】（1）根据勾股定理：所以梯子距离地面的高度为：AO米； （2）梯子下滑了0.5米即梯子距离地面的高度为OA′＝（2.5﹣0.5）＝2米， 根据勾股定理：OB′＝2米， 所以当梯子的顶端下滑0.5米时，梯子的底端水平后移了2﹣1.5＝0.5米， 答：当梯子的顶端下滑0.5米时，梯子的底端水平后移了0.5米． 【变式训练2】如图，一架25米长的梯子，斜靠在竖直的墙上，梯子底端到墙底端的距离为7米． （1）若梯子的顶端沿墙面下滑4米，那么底端将向外移动多少米？请写出解题过程． （2）在梯子滑动过程中，上是否存在点，它到墙底端的距离保持不变？若存在，请求出的长；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）8米；（2）存在， 【解析】如图， 在直角△ABO中，已知AB=25米，BO=7米，则由勾股定理得：AO==24（米）； ∵AO=AA1+OA1∴OA1=24米-4米=20米， ∵在直角△A1B1O中，AB=A1B1，且A1B1为斜边，∴由勾股定理得：OB1==15米， ∴BB1=OB1-OB=15米-7米=8米；答：梯足将向外移8米． （2）AB的中点P到O的距离始终不变， 类型二、水杯中的筷子问题 例1．如图所示，将一根长为24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在外面的长为hcm，则h的取值范围是（　　） A．0＜h≤11 B．11≤h≤12 C．h≥12 D．0＜h≤12 【答案】B 【解析】当筷子与杯底垂直时h最大，h最大＝24﹣12＝12cm． 当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，如图所示： 此时，AB＝＝＝13cm，∴h＝24﹣13＝11cm． ∴h的取值范围是11cm≤h≤12cm． 故选：B． 【变式训练】如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm，3cm，12cm，现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部，则吸管插在盒内部分的长度h的最大值为____________ cm． 【答案】13 【解析】如图所示：BC=3cm，CD=4cm，AB=12cm， 连接BD、AD，在Rt△BCD中，BD==5（cm）， 在Rt△ABD中，AD==13（cm）． 故吸管插在盒内部分的长度h的最大值为13cm． 故答案为：13． 类型三、最短距离问题 例1．如图，一个长方体盒子紧贴地面，一只蚂蚁由出发，在盒子表面上爬到点，已知，，，这只蚂蚁爬行的最短路程是________． 【答案】 【解析】由题意，如图所示， 得； 如图所示， 得，如图3所示， ，∴蚂蚁爬行的最短路程是10． 故答案为：10. 【变式训练1】如图所示，是长方形地面，长，宽，中间竖有一堵砖墙高．一只蚂蚱从点爬到点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走________的路程． 【答案】 【解析】如图所示，将图展开，图形长度增加，原图长度增加米， 则，连接． ∵四边形是长方形， ，宽， ∴．∴蚂蚱从点爬到点，它至少要走的路程． 故答案为：13 【变式训练2】如图，台阶阶梯每一层高，宽，长．一只蚂蚁从点爬到点，最短路程是____________． 【答案】 【解析】如图所示，∵楼梯的每一级的高宽长分别为20cm，宽40cm，长50cm， ∴(cm) 即蚂蚁从点A沿着台阶面爬行到点B的最短路程是130cm．故答案为：130cm． 类型三、是否有影响问题 例1．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向由行驶向，已知点为一海港，且点与直线上的两点，的距离分别为，，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． （1）求的度数． （2）海港受台风影响吗？为什么？ （3）若台风的速度为千米/小时，当台风运动到点处时，海港刚好受到影响，当台风运动到点时，海港刚好不受影响，即，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】