专题01 勾股定理与图形翻折问题-【B卷必考】2021-2022学年八年级数学上册压轴题攻略（北师大版，成都专用）

专题01 勾股定理与图形翻折问题 【基础知识点】 利用几何图形中的直角三角形，或者作辅助线构造直角三角形，再运用勾股定理是解决问题的关键 类型一、几何图形存在性问题 例1.如图，在矩形中，为边上一点，将沿翻折，点B落在点F处，当为直角三角形时，_________． 【答案】7或． 【解析】当为直角三角形时，有两种情况： ①当点落在矩形内部时，如下图所示．连接， 在中，，，， 沿折叠，使点落在点处，， 当为直角三角形时，只能得到， 点、、共线，即沿 折叠，使点落在对角线上的点处， ∴，，， 设，则， 在中，，，解得， ； ②当点落在边上时，如下图所示, 此时为正方形，∴． 综上所述，的长为7或． 【变式训练1】有一张直角三角形的纸片ABC，其中， ，，点D为AC边上的一点，现沿过点D的直线折叠，使直角顶点C恰好落在斜边AB上的点E处，当是直角三角形时，CD的长为_________． 【答案】或 【解析】，，根据题意分两种情况： ①如图， 若，根据折叠性质可得，，，， 设，则， 在中，，即，解得：； ②如图： 若，根据折叠的性质， ，四边形CDEF为正方形， ，，，， 设，则，， ，解得：；经检验：是原方程的根，综上所述，CD的长为或， 故答案为：或． 【变式训练2】如图，正方形ABCD中，AD＝4+2，已知点E是边AB上的一动点（不与A、B重合）将ADE沿DE对折，点A的对应点为P，当PA＝PB时，则线段AE＝__． 【答案】2 【解析】如图，过点P作MN⊥AB于N，交CD于M， ∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD=AD=4+2，CD∥AB， ∵MN⊥AB，∴MN⊥CD，∴四边形ADMN是矩形，∴MN=AD=4+2， 由折叠可知：AD=DP=4+2，AE=PE， ∵PA=PB，∴MN是AB的垂直平分线，∴DM=CM=2+，AN=NB=2+， ∴MP=，∴PN=1， ∵PE2=PN2+EN2，∴AE2=1+（2+-AE）2，∴AE=2， 故答案为2． 类型二、长度、面积问题 例1.如图，ABCD是一张矩形纸片，点E是AD边上的一点，将纸片沿直线BE翻折，点A落在DC边上的点F处，若AB＝10，AD＝8，则DE的长为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD是矩形，AB＝10，AD＝8 ∴，， ∵将纸片沿直线BE翻折，点A落在DC边上的点F处，∴， 在中，，∴ 设，∴ 在中，，∴，解得 ∴， 故选：D． 例2.如图，在中，，BD平分，将沿折叠，点A落处，则的面积是_____． 【答案】 【解析】如图，分别过作垂足分别为 ， ， 由折叠可知：, 平分， ， 平分，， ，， ， 又， 故答案为：． 【变式训练1】如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠使点落在处，与交于点，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB＝16，AB∥CD，∠B＝90°，∴∠DCA＝∠BAC， 由折叠的性质可得：∠DCA＝∠CA，C＝CD＝16，∴∠BAC＝∠CA，∴AF＝CF， 设BF=x，则AF＝CF=16-x，∴，解得：x=6，∴=， 故选A． 【变式训练2】如图，中，，将沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为（ ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解析】∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB==10， ∵△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，∴AE=BE，AD=BD=AB=5， 设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x， 在Rt△BCE中∵BE2=BC2+CE2，∴x2=62+（8-x）2，解得x=，∴CE==， 故选：D． 【变式训练3】如图，把正方形纸片沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点C折叠纸片，使点C落在MN上的点F处，折痕为BE．若AB的长为1，则FM的长为（ ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】四边形是正方形，， 由折叠的性质可知，，， 在中，由勾股定理得：． 故选：B． 【变式训练4】如图，已知矩形ABCD中AB＝3，BC＝5，E是的边CD上一点，将△ADE沿直线AE翻折后，点D恰好落在边BC上的点F处，那么DE的长为____． 【答案】 【解析】是沿翻折得到的， ，，， 四边形是矩形，，， 在中，，， 设，则，， 在中，，即，解得：，， 故答案为：． 课堂练习 1.在矩形ABCD中，，，将沿对角线BD对折得到，DE与BC交于F，则EF等于________． 【答案】 【解析】由折叠可知：AB=BE=CD=3，∠E=∠A=90°，DE=AD=4，∠ADB=∠EDB， ∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∴∠CBD=∠EDB， ∴BF=DF，设BF=DF=x