专题07 实数的相关运算-【重难点突破】2021-2022学年八年级数学上册常考题专练（北师大版）

专题07 实数的相关运算 题型一 实数的基本运算 一．实数的基本计算（共17小题） 1．下列计算中正确的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：、原式，所以选项的计算错误； 、与不能合并，所以选项的计算错误； 、原式，所以选项的计算正确； 、原式，所以选项的计算错误． 故选：． 2．下列计算结果，正确的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：、原式，所以选项错误； 、与不能合并，所以选项错误； 、原式，所以选项错误； 、原式，所以选项正确． 故选：． 3．计算：的结果为　1　． 【解答】解：原式， ， ， 故答案为：1． 4．计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 5．计算：． 【解答】解：原式 ． 6．计算． （1）． （2）． 【解答】解：（1） ． （2） ． 7．计算： 【解答】解：原式 ． 8．计算：． 【解答】解：原式 ． 9．计算： （1）； （2）． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 10．计算： （1）； （2）． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 11．计算： （1）； （2）． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 12．计算． （1）； （2）． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 13．计算： （1）； （2）． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 14．（1）计算：； （2）计算：． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 15．计算： （1）； （2）． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 16．计算下列各题： （1）； （2）． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 17．计算题 （1）； （2）． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 题型二 实数的化简求值 18．已知：如图： 化简：． 【解答】解：由已知，，，， 则原式． 19．已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为，化简． 【解答】解：由三边关系定理，得，，即， 原式 ． 20．化简求值：，其中． 【解答】解：原式 ， 当时，原式． 21．先化简，再求值： ，其中，． 【解答】解：原式 ， 当，时，原式． 22．先化简，再求值：已知，，试求的值． 【解答】解： 当，时， 原式 23．化简：． 【解答】解：原式 ． 题型三 实数的探究性问题 24．晓明同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． 下面是晓明的探究过程，请你补充完整： （1）具体运算，发现规律． 特例， 特例， 特例， 特例　　（填写一个符合上述运算特征的例子）． （2）观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律为：　　． （3）应用运算规律，化简：． 【解答】解：（1）答案为； （2）答案为为正整数）； （3）原式 ． 25．阅读理解：把分母中的根号化去叫做分母有理化，例如：①；②，等运算都是分母有理化，根据上述材料： （1）化简：　　；　　；　　； （2）求下列式子的值． ． 【解答】解：（1）化简：；；； 故答案为；；； （2）原式 ． 26．写作业时，小明被一道题难住了：“若，求的值．” 老师给予了必要的方法提示；不宜直接代入计算，需要先化简已知式，如． ， ． 请你根据老师的提示，解决如下问题： （1）计算：　　； （2）若，求的值． 【解答】解：（1）； 故答案为：； （2）， ， ． 27．先阅读下面的解题过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个数，，使，，即，，则有：． （1）根据上述方法化简： ①； ②． （2）已知，则　　． 【解答】解：（1）①原式； ②原式； （2）， ， ， 即， ， ． 故答案为． 28．阅读下列解题过程： ； ； ； 解答下列各题 ①　　； ②观察下面的解题过程，请直接写出式子　　． ③利用这一规律计算：． 【解答】解：①原式； 故答案为； ②； 故答案为； ③原式 ． 29．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中、、、均为正整数），则有， ，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得：　　，　　； （2）若，且、、均为正整数，求的值； （3）化简：． 【解答】解：（1），， ，． 故答案为，； （2），， ，， 、均为正整数， 、或，， 或7； （3）， 则 ． 30．观察下列各式： 请利用你所发现的规律，解决下列问题： （1）第4个算式为：　　； （2）求的值； （3）请直接写出的结果． 【