专题19 绝对值不等式-2021年初升高数学无忧衔接（沪教版2020）

专题19 绝对值不等式 知识精讲 绝对值不等式： 1、解绝对值不等式的思想是化去绝对值符号，转化为整式不等式（主要是一次、二次不等式）解之。 【注意】去绝对值符号，化绝对值不等式为整式不等式时要保持同解性。 2、绝对值不等式，关键在于去掉绝对值符号，一般有三种方法：①几何含义；②两边平方；③分段讨论。 利用绝对值的含义解不等式 绝对值的实际含义，就是数轴上两点之间的距离。所以，利用这一点，就可以解决一些简单的绝对值不等式问题；也可以直接利用分类讨论将绝对值符号去掉进行求解。 可以两边平方的绝对值不等式 当不等式的两边都出现绝对值（或恒大于等于零）时，就可以利用不等式可两边平方的性质来去掉绝对值符号。 分段讨论解绝对值不等式 一般地，当无法直接去绝对值，或者出现多个绝对值符号时，通常是“分段讨论”，去掉绝对值符号。 含参数的绝对值不等式 含参数的绝对值不等式分为三类： ①给定解集求参数； ②简单恒成立问题； ③讨论参数取值解不等式； 其解决方法都可以利用前面三种方法来进行求解，有时也可以利用参变分离、数形结合的方法来简化计算。 典例剖析 【例1】解不等式 【难度】★ 【答案】 【解析】这个绝对值不等式的绝对值符号内是一个分式，若先去绝对值符号，就变成一个形式上是分式的不等式：，这样就为解题制造了障碍，但是如果我们不急于去绝对值符号，而是先将绝对值符号内的表达式进行化简，就可以得到。 【点拨】去绝对值符号之前，可适当对绝对值内的代数式进行化简，化简后可较容易判断符号或确定零点。 【例2】已知，（ ） （A） （B） （C） （D） 【难度】★ 【答案】A 【解析】利用不等式的解法和集合的运算。 ， 即 【点拨】其中的分式不等式应移项、通分再求解，最后的解为两个不等式的交集。 【例3】 【难度】★ 【答案】 【例4】不等式的解集是__________. 【难度】★ 【答案】｛x| x≥-1｝ 【例5】解不等式 【难度】★ 【答案】 分析：解此题的关键是去绝对值符号，而去绝对值符号有两种方法：一是根据绝对值的意义 二是根据绝对值的性质：或，因此本题有如下两种解法． 解法一：原不等式 即 ∴或故原不等式的解集为． 解法二：原不等式等价于 即 ∴． 【例6】解不等式 【难度】★ 【答案】 【点拨】本题是分式与绝对值不等式，解题的基本思路是化“分式”为“整式”，除去“绝对值”符号，在于灵活运用，使问题易于解决。 【例7】不等式组 的解集是（ ） (A) (B) (C) (D) 【难度】★★ 【答案】C 【解析】 本题是考查含有绝对值不等式的解法，由，知，所以，又，所以，解原不等式实为解不等式。 解法一：不等式两边平方得：2 222。 所以即 所以，又，所以 ，所以，选C 解法二：由可分为两种情况讨论： （1）当时，不等式组可化为（）；解得 。 （2）当时，不等式组可化为。 综合可得原不等式组的解为，选C。 【点拨】本题是在的条件下，解一个含绝对值的分式不等式，如何去绝对值是本题的关键所在，必须注意，只有在保证两边均为非负数时，才能将不等式两边同时平方；另一种方法则是分区间讨论，从而去掉绝对值符号，当然本题还可用特殊值排除法求解 【例8】已知，使不等式在实数集上的解集不是空集，求的取值范围。 【难度】★★ 【答案】设y=|x-4|+|x-3|，y为实数x对应的点与3、4对应的点的距离|PA|与|PB|之和 ∵|PA|+|PB|≥1，∴y≥1对一切x都成立∴要使原不等式有解，只需a>1。 对点精练 1、不等式的解集是（ ） （A） （B） （C） （D） 【难度】★ 【答案】B 2、不等式的解集是（ ） （A） （B） （C） （D） 【难度】★ 【答案】C 3、不等式的解集是（ ） （A） （B） （C） （D） 【难度】★ 【答案】C 4、不等式的解集是__________. 【难度】★ 【答案】－7<x≤－1或5≤x<11 5、不等式组的解集是__________. 【难度】★ 【答案】 6、解不等式 【难度】★ 【答案】 7、若集合,则（ ） （A） （B） （C） （D） 【难度】★ 【答案】D 8、解不等式 【难度】★ 【答案】 9、不等式的解集是（ ） （A） （B） （C） （D） 【难度】★ 【答案】D 10、不等式的实数解为__________. 【难度】★ 【答案】 11、的解集为__________. 【难度】★★ 【答案】 12、不等式的解集为__________. 【难度】★ 【答案】 13、解不等式 【难度】★★ 【答案】 14、不等式的解集是