4.3 对数-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【重难点手册】人教A版

当x<0时,22-1<0,则f(x)>0 则h(t1)-h(t2)= (t2-t1)(4t1t2-1) 综上f(x)>0 12(1)由/(2)=3,得c,2+1=3,解得=2 p(1)-p(1)=-2(2+1)<0 所以h(t)在[1,+∞)上单调递减,p(t)在[1,十∞)上单调 (2)由(1)得f(x) 递增,h(t)在[1,+∞)上的最大值为h(1)=-5,p(t)在 [1,+∞)上的最小值为p(1)=1, 所以实数a的取值范围为[-5,1] 由f(x)>8+1得,当0<x≤2时,2x+1>8+1, (3)定义在D上的函数f(x),若满足:对任意x∈D,存在 常数M>0,都有f(x)≥M成立,则称f(x)是D上的有 解得<x<2 界函数,其中M称为函数f(x)的下界 例如,f(x)=3是下界为3的函数 1时,2+1>y+1,解得≤ 证明:∵对任意x∈R,|f(x)=3≥3 命题成立 综上,不等式f(x)>8+1的解集为 13()()=(,且a≠1,则a=8,:=2.1(-),提示:由f(n)为奇函数可知/(O)=,即 ∴g(x)=22,∴f(x) aa+1=0,解得a=2,则f(m)≈11 ∴f(x)是奇函数,∴f(0)=0,即 解得n=1. 的值域为 提示:因为 解得m=2. 经检验知f(-x)=-f(x)恒成立,∴f(x 城为{y|y>0且y≠2 (2)由(1)知f(x)1-2 4.3对数 变式训练 易知f(x)在R上为减函数 又f(x)是奇函数,f(2t-3)+f(t-k)>0, 式1](1)原式=log35× ∴f(21-3)>-f(t-k)=f(k-1) (2)I=(lg 2+lg 5)(1g 2-Ig 2lg 5+Ig:5)+3lg 2lg 5 ∴2t-3<k-t,即对一切t∈[1,4],3t-3<k恒成立 g22+lg25+2lg2lg5=(lg2+lg5)2=1 令m()=3t-3,t∈[1,4],易知m(t)在[1,4]上单调递增 (3)原式=[(log6-log3)2+logn2log(2×32)]÷log4 ∴m(t)m=3×4-3=9,∴k>9 +logs 2(log 2+log 3):logs 2 故实数k的取值范围是(9, (1)当a=1时 [(logs2)2+(log 2)2+2log 2log 3]:2lc -log 2tlog 3-log(2X3)=1 (4)原式=1g2(2g2+lg5)+√(lg2-1)2 f(x)在(-∞,0)上单调递减,∴f(x)>f(0)=3 g√2(lg2+lg5)+1-lg√2 即f(x)在(-∞,0)上的值域为(3,+∞), 故不存在常数M>0,使f(x)≤M成立, 变式2](1)B ∴函数f(x)在(一∞,0)上不是有界函数 (2)由题意知|f(x)≤3在[0,+∞)上恒成立 提示:P t log 11 ∴-3≤∫(x)≤3 logu 2+logu 3+log 4+logu5 2-(2)≤a≤2.2-(2)在 ∴log1l=1<logn120<logn121=2,即1<P<2. 恒成立 提示:由对数换底公式得 设2=t,h(t)=-41-,p(t)=2t 由x∈[0,+∞)得t≥1,设1≤t1<t2 340 [变式3](1)首先,方程中的x应满足x>10, 32-1-2=1>0,所以x=2满足条件 其次,原方程可化为lg -lg 所以x=2是原方程的解 4.B提示:∵R=1+rT,∴3.28=1+6 即x2-10x-75=0 解得x=15或x=-5(舍去), 若1(t2)=e,则e4-4)=2,0.38(12-1)=ln2 经检验x=15是原方程的解 (2)首先,x>0且x≠10 0.69,t2-t1≈1.8. 5.A提示:由题意可设太阳的星等为m2,太阳的亮度为E2, 其次原方程可化为x+1=2,即x+kx=2=.天泉星的星等为m,天狼星的亮度为E 令t=lgx,则t2+t-2 则由m=m=21gE,得-26.7+1.45=21gE, 解得t=1或 即gx=1或lgx=-2. x=10或x=100 学业质量测评 经检验x=10,x= 都是原方程的解 (3)首先,x2-1>0且x2-1≠1 1.C提示:函数y=1041的定义域为{x|x>1},y=x-1 即x>1或x<-1且x≠士√2 与y=|x-1的定义域都为R,故不正确;y 又2x2-3x+1>0,得x<或x>1 的定义域为{x|x>1},解析式可化简为y=x-1,因此正 综上,x>1或 其次,原方程可化为x2-1=2x2-3x+1. 确;y=x+1的定义域为{x1x≠-1,故不正确,故选C 或x=2. 2.B提示:∵y=x+是单调递减函数,且0<1<3 经检验x=2是原方程的解 2=1,∴c<b