专题06 勾股定理（3）-2021年暑假初一升初二名师辅导精品课堂（北师大版数学）

（北师版数学）2021年暑假初一升初二名师辅导精品课堂（6） 辅导范围：勾股定理（3）；辅导时间：120分钟；学生姓名： 一、课堂精炼 1．（第十七章勾股定理【章节复习专项训练】-2020-2021学年八年级数学下学期期末专项复习（人教版））如图是一个长方形的大门，小强拿着一根竹竿要通过大门．他把竹竿竖放，发现竹竿比大门高1尺；然后他把竹竿斜放，竹竿恰好等于大门的对角线的长．已知大门宽4尺，请求出竹竿的长． 【答案】尺 【分析】 根据题中所给的条件可知，竹竿斜放恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高，进而解答即可． 【详解】 解：设门高为x尺，则竹竿长为（x+1）尺， 根据勾股定理可得： x2+42＝（x+1）2，即x2+16＝x2+2x+1， 解得：x＝7.5， ∴门高7.5尺，竹竿高＝7.5+1＝8.5（尺）． 故答案为尺． 【点睛】 本题考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解题关键． 2．（2021·广东广州市·八年级期末）如图，一架梯子斜靠在一竖直的墙上，这时，．梯子顶端沿墙下滑至点，使，同时，梯子底端也外移至点．求的长度．（结果保留根号） 【答案】 【分析】 先在中，，，求出梯子的长，在滑动过程中梯子的长是不变的，再根据已知条件证明出，即可求出长． 【详解】 解：在中，，， ， 根据勾股定理知， ， ， 在和中， ， ， ，， ． 【点睛】 本题考查正确运用勾股定理和三角形全等，关键是运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． 3．（2021·西安市第八十二中学）在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于种种原因，由C到A的路现在已经不通了，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝3千米，CH＝2.4千米，HB＝1.8千米． （1）问CH是不是从村庄C到河边的最近路，请通过计算加以说明； （2）求原来的路线AC的长． 【答案】（1）是，理由见解析；（2）2.5米． 【分析】 （1）先根据勾股定理逆定理证得Rt△CHB是直角三角形，然后根据点到直线的距离中，垂线段最短即可解答； （2）设AC＝AB＝x，则AH＝x－1.8，在Rt△ACH中，根据勾股定理列方程求得x即可． 【详解】 （1）∵，即， ∴Rt△CHB是直角三角形，即CH⊥BH， ∴CH是从村庄C到河边的最近路（点到直线的距离中，垂线段最短）； （2）设AC＝AB＝x，则AH＝x－1.8， ∵在Rt△ACH， ∴，即 ，解得x＝2.5， ∴原来的路线AC的长为2.5米． 【点睛】 本题主要考查了勾股定理的应用，灵活应用勾股定理的逆定理和定理是解答本题的关键． 4．（2021·河南商丘市·八年级期中）如图，一游船在水面上，河岸离水面的高度为5m工作人员站在岸边用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长BC为13m，工作人员以0.5m/s的速度拉绳子，10s后船移动到D点的位置（B，D，A三点在同一直线上），请你计算船向岸边移动的距离．（假设绳子是直的，结果保留根号） 【答案】m 【分析】 在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD=AB-AD可得BD长． 【详解】 解：在中，，m，m， m， 此人以0.5m/s的速度收绳，10s后船移动到点D的位置， m， m， m． 答：船向岸边移动了m． 【点睛】 此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 5．（2020·安徽滁州市·九年级月考）如图，为测量某写字楼的高度，小明在点测得点的仰角为30°，朝写字楼方向前进，到达点，再次测得点的仰角为60°，试求写字楼的高度． 【答案】 【分析】 首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边AB及CD=DC-BC=20构造方程关系式，进而可解，即可求出答案． 【详解】 解：由题意，知，， ∴． ∴． ∴． 在中， ∵， ∴． 答：写字楼的高度为． 【点睛】 本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形． 6．（2021·河南安阳市·八年级期末）在甲村至乙村的公路旁有一块山地需要开发，现有一C处需要爆破，已知点C与公路上的停靠点A的距离为800米，与公路上另一停靠点B的距离为600米，且，如图，为了安全起见，爆破点C周围半径450米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路段是否有危险需要暂时封锁？请通过计算进行说明． 【答案】公路段没有危险不需要暂时锁锁，见解析 【分析】 过点C作于点D，由勾股定理求出AB的长，再由面积相等