第九章 习题课 正弦定理与余弦定理（课时作业）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学必修第四册同步导学案（人教B版）

一、复习巩固 1．在△ABC中，c＝2，A＝30°，B＝120°，则△ABC的面积为(　　) A.　　　　　　　 B. C．3 D．3 解析：C＝180°－30°－120°＝30°，∴a＝c＝2， ∴面积S＝.×2×2×sin 120°＝acsin B＝ 答案：B 2．已知三角形的面积为，其外接圆的面积为π，三角形的三边之积为(　　) A．1 B．2 C. D．4 解析：由题意得，外接圆的半径R＝1， S＝. ＝＝ababsin C＝ ∴abc＝1. 答案：A 3．在△ABC中，c＝，b＝1，B＝30°，则△ABC的面积为(　　) A.或 B.或 C. D.或 解析：由正弦定理，得sin C＝，＝ ∵B＝30°，∴0°＜C＜150°， ∴C＝60°或C＝120°. 当C＝60°时，S△ABC＝；bcsin A＝ 当C＝120°时，S△ABC＝.bcsin A＝ 答案：B 4．已知三角形两边之差为2，它们夹角的余弦值为，面积为14，则这个三角形的这两边长分别是(　　) A．3和5 B．4和6 C．6和8 D．5和7 解析：设a－b＝2，cos C＝，，sin C＝ S△ABC＝absin C＝14，故ab＝35. 由a－b＝2和ab＝35， 解得a＝7，b＝5. 答案：D 5．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，则C＝(　　) A. B. C. D. 解析：∵S＝abcos C，＝＝absin C＝ ∴sin C＝cos C，即tan C＝1. ∵C∈(0，π)，∴C＝. 故选C. 答案：C 6．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin A＝，则b的值为________． ，a＝2，S△ABC＝ 解析：结合三角形面积公式可得，则bc＝3，①bcsin A＝ 锐角三角形中，由同角三角函数基本关系有cos A＝，＝ 结合余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A可得4＝b2＋c2－2×3×，则b2＋c2＝6，② ①②联立可得b＝c＝. 答案： 7．在△ABC中，BC＝，AC＝3，sin C＝2sin A，则cos (B＋C)＝________. 解析：设角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ∵sin C＝2sin A知AB＝2BC＝2， 由余弦定理知cos A＝，＝＝ 又A＋B＋C＝π， ∴cos (B＋C)＝－cos A＝－. 答案：－ 8．△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c ，sin2A＝2sin2B，c＝2b. (1)求cos B； (2)若△ABC的面积为，求△ABC的周长． 解析：(1)∵sin2A＝2sin2B， ∴a2＝2b2，则a＝b， 由余弦定理，可得cos B＝. ＝＝ (2)∵cos B＝， ，∴sin B＝ 则△ABC的面积S＝，＝b2×acsin B＝ 解得b＝2， 从而△ABC的周长为6＋2. 9.△ABC中，D是BC边的中点，AB＝3，AC＝.，AD＝ (1)求BC边的长； (2)求△ABC的面积． 解析：(1)设BD＝x，则BC＝2x， 在△ABD中，有cos ∠ABD＝，＝ 在△ABC中，有cos ∠ABC＝，＝ 且∠ABD＝∠ABC， 即，＝ 得x＝2，所以BC＝4. (2)由(1)可知，cos B＝，B∈(0，π)， 得sin B＝， 所以S△ABC＝.＝3×3×4×·AB·BC·sin B＝ 二、综合应用 10．在△ABC中，sin A＝，则△ABC的形状为(　　) A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 解析：法一：∵sin A＝，又A＋B＋C＝π， ∴sin Acos B＋sin Acos C＝sin (A＋C)＋sin (A＋B)， ∴sin Acos B＋sin Acos C＝sin Acos C＋cos Asin C＋sin Acos B＋cos Asin B， ∴cos A(sin C＋sin B)＝0， 又sin C＋sin B≠0，∴cos A＝0， 又0<A<π，∴A＝， ∴△ABC为直角三角形． 法二：由正弦定理、余弦定理及题设条件可得 a＝， 化简得(b＋c)(b2＋c2－a2)＝0， 又b＋c≠0， ∴b2＋c2－a2＝0， ∴b2＋c2＝a2， ∴△ABC为直角三角形． 答案：A 11．我国南宋著名数学家秦九韶也发现了与著名的海伦公式等价的从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”．求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隔，开平方得积．”若把以上这段文字写出公式，就是S＝ ＋1)，试用以上给出的公式求得面积为(　　) ∶(－1)∶的△ABC满足sin A∶sin B∶s