第九章 9.2 第2课时 距离、高度问题（课时作业）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学必修第四册同步导学案（人教B版）

一、复习巩固 1．某次测量中，甲在乙的北偏东55°，则乙在甲的(　　) A．北偏西35°　　　　　　　 B．北偏东55° C．南偏西35° D．南偏西55° 答案：D 2.如图，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知CD＝100米，点C位于BD上，则山高AB等于(　　) A．100米 B．50米 C．50＋1)米米 D．50( 解析：设AB＝x m，则由题意，∠D＝30°，∠ACB＝45°， 在Rt△ABC中，BC＝AB＝x， 在Rt△ADB中，DB＝CD＋BC＝100＋x， 所以DB＝AB， 即100＋x＝＋1) m.x，解得x＝50( 所以山AB的高度为50(＋1)米． 答案：D 3.如图，有一建筑物OP，为了测量它的高度，在地面上选一长度为40 m的基线AB，若在点A处测得P点的仰角为30°，在B点处的仰角为45°，且∠AOB＝30°，则建筑物的高度为(　　) A．20 m B．20 m C．20 m D．40 m 解析：设高OP＝h，则OA＝htan 60°＝h·h·cos 30°，解得h＝40.故选D.h)2＋h2－2·h，OB＝htan 45°＝h.在△AOB中，由余弦定理得402＝( 答案：D 4．在静水中划船的速度是每分钟40 m，水流的速度是每分钟20 m，如果船从岸边A处出发，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船前进的方向指向河流的上游并与河岸垂直的方向所成的角为(　　) A. B. C.π D. 解析：设水流速度与船速的合速度为v，方向指向对岸． 则由题意知， sin α＝，＝＝ 又α∈.，∴α＝ 答案：C 5.在地面上点D处测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D点20 m，则建筑物的高度为(　　) A．20 m B．30 m C．40 m D．60 m 解析：如图，设O为建筑物顶端在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，OB＝20 m，∴OD＝20 m．在Rt△AOD中，OA＝OD·tan 60°＝60 m，∴AB＝OA－OB＝40 m，故选C. 答案：C 6．某人向正东方向走x km后向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好 km，那么x的值为________． 解析：如图所示，在△ABC中，AB＝x，BC＝3，AC＝，检验均符合题意．，x2＝2x＋6＝0，解得x1＝)2＝32＋x2－2×3·x·cos 30°，即x2－3，∠ABC＝30°.由余弦定理得( 答案：或2 7．如图，小明同学在山顶A处观测到，一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100 m，汽车从C点到B点历时14 s，则这辆汽车的速度为________ m/s(精确到0.1，参考数据：≈2.236)． ≈1.414， 解析：由题意，AB＝200 m，AC＝100 m， 由余弦定理可得 BC＝ ＝100 m 这辆汽车的速度为100÷14≈22.6 m/s. 答案：22.6 8.如图，在山脚A测得山顶P的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡走a m到B，又测得山顶P的仰角为γ，则山高为________ m. 解析：在△PAB中，∠BAP＝α－β，∠APB＝γ－α，∠ABP＝180°－∠BAP－∠APB＝180°－(γ－β)，AB＝a，由正弦定理可得PA＝.＝ 在Rt△PAQ中，PQ＝PA·sin α＝. 答案： 9．在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在地面上前进600 m后测得仰角为2θ，继续在地面上前进200 m以后测得山峰的仰角为4θ，求该山峰的高度． 解析：如图所示，△BED，△BDC为等腰三角形， BD＝ED＝600，BC＝DC＝200. 在△BCD中，由余弦定理可得 cos 2θ＝，＝ 所以2θ＝30°，4θ＝60°. 在Rt△ABC中，AB＝BC·sin 4θ＝200＝300(m)． × 即山峰高度为300 m. 10.如图，A，C两岛之间有一片暗礁，一艘小船于某日上午8时从A岛出发，以10海里/小时的速度沿北偏东75°方向直线航行，下午1时到达B处，然后以同样的速度沿北偏东15°方向直线航行，下午4时到达C岛． (1)求A，C两岛之间的距离； (2)求∠BAC的正弦值． 解析：(1)在△ABC中， 由已知，得 AB＝10×5＝50(海里)， BC＝10×3＝30(海里)， ∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°， 由余弦定理得AC2＝502＋302－2×50×30cos 120°＝4 900，所以AC＝70(海里)． 故A，C两岛之间的距离为70海里． (2)在△ABC中，由正弦定理， 得，