第九章 9.2 第1课时 距离问题（课时作业）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学必修第四册同步导学案（人教B版）

一、复习巩固 1．学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形，如图所示，测得AC的长度为4米，A＝30°，则其跨度AB的长为(　　) A．12米　　　　　　　 B．8米 C．3 米 米 D．4 解析：△ABC为等腰三角形，A＝30°，∴B＝30°，C＝120°， ∴由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C＝42＋42－2×4×4×＝48， ∴AB＝4米． 答案：D 2．已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离是(　　) A．a km B.a km C.a km D．2a km 解析：如图所示，在△ABC中，∠ACB＝180°－20°－40°＝120°， ∵AC＝BC＝a， ∴由余弦定理，得 AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 120°＝a2＋a2－2a2×＝3a2， ∴AB＝a(km)， 即灯塔A与灯塔B的距离为a km. 答案：C 3．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1 km，且∠ACB＝120°，则A，B两点间的距离为(　　) A. km km B. C．1.5 km D．2 km 解析：根据余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C， ∴AB＝ ＝ (km)．故选A.＝ 答案：A 4．如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后到达N处，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为(　　) A．20()海里每小时＋ B．20()海里每小时－ C．20()海里每小时＋ D．20()海里每小时－ 解析：由正弦定理得)海里每小时．－)海里，速度为20(－，所以MN＝10(＝ 答案：B 5．有一长为10 m的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长(　　) A．5 m B．10 m C．10 m m D．10 解析：如图，设将坡底加长到B′时，倾斜角为30°，在△ABB′中，B′＝30°，∠BAB′＝75°－30°＝45°，AB＝10 m. 在△BAB′中，由正弦定理，得 BB′＝(m)． ＝10＝ 所以坡底要延长10 m时，斜坡的倾斜角将变为30°. 答案：C 6．上海世博园中的世博轴是一条1 000 m长的直线型通道，中国馆位于世博轴的一侧．现测得中国馆到世博轴两端的距离相等，并且从中国馆看世博轴两端的视角为120°.据此数据计算，中国馆到世博轴其中一端的距离是________ m. 解析：如图所示，设A，B为世博轴的两端点，C为中国馆，由题意知∠ACB＝120°，且AC＝BC，过C作AB的垂线交AB于D，在Rt△CBD中，DB＝500 m，∠DCB＝60°，∴BC＝ m. 答案： 7．一艘海警船从港口A出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°方向直线航行，30分钟到达B处，这时候接到从C处发出的一求救信号，已知C在B的北偏东65°，港口A的南偏东70°处，那么B，C两点的距离是________海里． 解析：如图，由已知可得，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，AB＝20，从而∠ACB＝45°.在△ABC中，由正弦定理可得BC＝.×sin 30°＝10 答案：10 8．某人从A处出发，沿北偏东60°行走3 km到B处，再沿正东方向行走2 km到C处，则A，C两地距离为________ km. 解析：如图所示，由题意可知AB＝3，BC＝2，∠ABC＝150°， 由余弦定理，得 AC2＝27＋4－2×3×2×cos 150°＝49，AC＝7. 则A，C两地距离为7 km. 答案：7 9．某海岛周围38海里有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°方向，航行30海里后测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船有无触礁的危险？ 解析：由题意，在三角形ABC中，AB＝30，∠BAC＝30°，∠ABC＝135°，所以∠ACB＝15°； 由正弦定理得 BC＝·sin∠BAC ＝·sin 30°＝ ＝15()． ＋ 过点C作CD⊥AB于点D， 在Rt△BDC中，CD＝＋1)＞38.BC＝15( 所以此船无触礁的危险． 10．如图，一人在C地看到建筑物A在正北方向，另一建筑物B在北偏西45°方向，此人向北偏西75°方向前进 km到达D处，看到A在他的北偏东45°方向，B在北偏东75°方向，试求这两座建筑物之间的距离． 解析：依题意得，CD＝(km)， ∠ADB＝∠BCD＝30°＝∠BDC， ∠DBC＝120°，∠ADC＝60°，∠DAC＝45°. 在△BDC中，由正弦定理得