第九章 9.1 9.1.2 余弦定理（课时作业）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学必修第四册同步导学案（人教B版）

一、复习巩固 1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝1，c＝4，B＝45°，则sin C等于(　　) A.　　　　　　　 B. C. D. 解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝1＋32－8，＝－＝25，所以b＝5.cos C＝× sin C＝.＝ 答案：B 2．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角之和为(　　) A．90° B．120° C．135° D．150° 解析：设长为7的边所对的角为θ，由已知条件可知角θ为中间角．因为cos θ＝，所以θ＝60°，所以最大角与最小角的和为120°.＝ 答案：B 3．在△ABC中，若a＜b＜c，且c2＜a2＋b2，则△ABC为(　　) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不存在 解析：因为c2＜a2＋b2，所以C为锐角， 因为a＜b＜c，所以C为最大角，所以△ABC为锐角三角形． 答案：B 4．在△ABC中，有下列结论： ①若a2＞b2＋c2，则△ABC为钝角三角形； ②若a2＝b2＋c2＋bc，则A为60°； ③若a2＋b2＞c2，则△ABC为锐角三角形； ④若A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝1∶2∶3. 其中正确的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：①cos A＝∶2，错误．＞0，所以C为锐角，但A或B不一定为锐角，错误；④A＝30°，B＝60°，C＝90°，a∶b∶c＝1∶，所以A＝120°，错误；③cos C＝＝－＜0，所以A为钝角，正确；②cos A＝ 答案：A 5．在△ABC中，已知sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7，则此三角形的最小内角的余弦值等于________． 解析：因为sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7， 所以由正弦定理可得a∶b∶c＝3∶5∶7， 所以a＝，A为三角形的最小内角，，c＝ 所以由余弦定理可得cos A＝.＝＝ 答案： 6．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab＝________. 解析：因为C＝60°， 所以c2＝a2＋b2－2abcos 60°， 即c2＝a2＋b2－ab.① 又因为(a＋b)2－c2＝4， 所以c2＝a2＋b2＋2ab－4.② 比较①②知－ab＝2ab－4，所以ab＝. 答案： 7．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足b2＝ac，且c＝2a，则cos B＝________. 解析：因为b2＝ac，且c＝2a，所以cos B＝.＝＝ 答案： 8．在△ABC中，A＋C＝2B，a＋c＝8，ac＝15，求b. 解析：在△ABC中，由A＋C＝2B，A＋B＋C＝180°，知B＝60°. a＋c＝8，ac＝15，则a，c是方程x2－8x＋15＝0的两根． 解得a＝5，c＝3或a＝3，c＝5. 由余弦定理，得 b2＝a2＋c2－2accos B＝9＋25－2×3×5×＝19. ∴b＝. 9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2＋c2－b2)·tan B＝ac.求角B的值． 解析：因为(a2＋c2－b2)·tan B＝ac， 所以，＝ 即cos B＝，，所以sin B＝ 又因为B∈(0，π)，所以B为.或 二、综合应用 10．在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则的值为(　　) · A．79 B．69 C．5 D．－5 解析：由余弦定理得cos∠ABC＝的夹角为180°－∠ABC，与，因为向量＝＝ 所以＝－5.|cos(180°－∠ABC)＝5×7×||＝|· 答案：D 11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b－c＝a,2sin B＝3sin C，则cos A的值为________． 解析：由2sin B＝3sin C及正弦定理可得2b＝3c，由b－c＝.＝c，由余弦定理可得cos A＝a可得a＝c，b＝ 答案： 12．在△ABC中，A＝＝________.c，则，a＝ 解析：在△ABC中，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，将A＝c代入，，a＝ 可得()，c)2＝b2＋c2－2bc·(－ 整理得2c2＝b2＋bc. ∵c≠0，∴等式两边同时除以c2， 得2＝.)2＋，即2＝(＋ 令t＝(t＞0)，有2＝t2＋t，即t2＋t－2＝0， 解得t＝1或t＝－2(舍去)，故＝1. 答案：1 13．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c＝cos A＝0.，4a－3，b＝ (1)求a的值； (2)若B＝λA，求λ的值． 解析：(1)因为4a－3cos A＝0， 故4a＝3cos A， 所以4a＝3，× 因为c＝，，b＝ 所以12a2＋80a－147＝0， 解得a