第九章 9.1 9.1.1 正弦定理（课时作业）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学必修第四册同步导学案（人教B版）

一、复习巩固 1．在△ABC中，a＝7，c＝5，则sin A∶sin C的值是(　　) A.　　　　　　　 B. C. D. 解析：由正弦定理得sin A∶sin C＝a∶c＝7∶5. 答案：A 2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则c＝(　　) A. B．1 C. D．2 解析：根据三角形内角和定理得C＝30°， 根据正弦定理，＝ 得c＝＝2.＝ 答案：D 3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝60°，B＝45°，a＝3，则b＝(　　) A. B. C．2 D．4 解析：由正弦定理得b＝.＝2＝＝ 答案：C 4．在△ABC中，AB＝，A＝45°，C＝75°，则BC＝(　　) A. B．3－ C．2 D．3＋ 解析：由正弦定理得 BC＝＝ ＝.＝3－＝ 答案：B 5．在△ABC中，已知a＝，b＝1，A＝45°，则C的大小为________． 解析：sin B＝. ＝＝ ∵a＞b，∴B＝30°， ∴C＝180°－30°－45°＝105°. 答案：105° 6．若△ABC的面积为，BC＝2，C＝60°，则边AB的长度等于________． 解析：由于S△ABC＝，BC＝2，C＝60°， ∴，×2·AC·＝ ∴AC＝2，∴△ABC为正三角形，∴AB＝2. 答案：2 7．在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则＝________.＋＋ 解析：∵△ABC的外接圆直径为2R＝2， ∴＝2R＝2，＝＝ ∴＝2＋1＋4＝7.＋＋ 答案：7 8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csin A＝acos C．求角C的大小． 解析：由正弦定理得sin Csin A＝sin Acos C. 因为0＜A＜π，所以sin A＞0， 从而sin C＝cos C．又cos C≠0， 所以tan C＝1，则C＝. 9．如图所示，AB⊥BC，CD＝33，∠ACB＝30°，∠BCD＝75°，∠BDC＝45°，求AB的长． 解析：在△BCD中，∠DBC＝180°－75°－45°＝60°， 由正弦定理知：，＝ 求得BC＝11. 在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB ＝11.×tan 30°＝11 二、综合应用 10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos Asin C，则下列等式成立的是(　　) A．a＝2b B．b＝2a C．A＝2B D．B＝2A 解析：2sin Acos C＋cos Asin C＝sin Acos C＋(sin Acos C＋cos Asin C)＝sin Acos C＋sin B＝sin B＋2sin Bcos C，即sin Acos C＝2sin Bcos C，由于△ABC为锐角三角形，所以cos C≠0，sin A＝2sin B，由正弦定理可得a＝2b. 答案：A 11．在△ABC中，A＝的值为(　　) π，AB＝5，BC＝7，则 A. B. C. D. 解析：由正弦定理得，＝ 所以sin C＝.＝＝ 又因为A＝，π，所以C∈ 所以cos C＝，＝＝ 因为A＋B＋C＝π，所以sin B＝sin (A＋C) ＝sin Acos C＋cos Asin C ＝，＝×＋× 所以.＝＝ 答案：D 12．在△ABC中，已知B＝45°，b＝2，若用正弦定理解三角形有两解，则边长a的取值范围是________． 解析：因为.sin A，所以2＜a＜2＜sin A＜1，又a＝2sin A，A＋C＝180°－45°＝135°，由A有两个值，得到这两个值互补，若A≤45°，则互补的角大于等于135°，这样A＋B≥180°.不成立，所以45°＜A＜135°，又若A＝90°，这样补角也是90°，一解，所以，所以a＝2＝2＝＝ 答案：(2,2) 13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcos C＋bsin C－a－c＝0，则角B＝________. 解析：由正弦定理知， sin Bcos C＋sin Bsin C－sin A－sin C＝0. 因为sin A＝sin(B＋C) ＝sin Bcos C＋cos Bsin C， 代入上式得sin Bsin C－cos Bsin C－sin C＝0. 因为sin C＞0，所以sin B－cos B－1＝0， 所以2sin＝1， 即sin.＝ 因为B∈(0，π)，所以B＝. 答案： 14．在锐角三角形ABC中，A＝2B，a，b，c所对的角分别为A，B，C. (1)求B的范围； (2)试求的范围． 解析：(1)在锐角三角形ABC中，0＜A＜，