第九章 习题课 正弦定理与余弦定理（课件PPT）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学必修第四册同步导学案（人教B版）

返回导航 下页 上页 必修第四册·人教数学B版 习题课　正弦定理与余弦定理 返回导航 下页 上页 必修第四册·人教数学B版 关键能力 互动探究 课时作业 巩固提升 返回导航 下页 上页 必修第四册·人教数学B版 探究一　利用正、余弦定理解三角形 [例1]　(1)在△ABC中，coseq \f(C,2)＝eq \f(\r(5),5)，BC＝1，AC＝5，则AB＝(　　) A．4eq \r(2)　　　　　　　 B.eq \r(30) C.eq \r(29) D．2eq \r(5) 返回导航 下页 上页 必修第四册·人教数学B版 (2)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且eq \f(c－b,c－a)＝eq \f(sin A,sin C＋sin B)，则B＝(　　) A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,4) C.eq \f(π,3) D.eq \f(3π,4) 返回导航 下页 上页 必修第四册·人教数学B版 [解析]　(1)因为cos C＝2cos2eq \f(C,2)－1＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)))2－1＝－eq \f(3,5)，所以c2＝a2＋b2－2abcos C＝1＋25－2×1×5×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＝32，所以c＝4eq \r(2)，选A. (2)因为eq \f(c－b,c－a)＝eq \f(sin A,sin C＋sin B)，所以eq \f(c－b,c－a)＝eq \f(a,c＋b)，即(c－b)(c＋b)＝a(c－a)，所以a2＋c2－b2＝ac，所以cos B＝eq \f(1,2)，又B∈(0，π)，所以B＝eq \f(π,3). [答案]　(1)A　(2)C 返回导航 下页 上页 必修第四册·人教数学B版 解三角形问题的技巧 (1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到. (2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断． 返回导航 下页 上页 必修第四册·人教数学B版 1．(2019·高考全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin B－sin C)2 ＝sin2A－sin Bsin C. (1)求A； (2)若eq \r(2)a＋b＝2c，求sin C. 返回导航 下页 上页 必修第四册·人教数学B版 解析：(1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C， 故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc. 由余弦定理得cos A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(1,2). 因为0°＜A＜180°，所以A＝60°. 返回导航 下页 上页 必修第四册·人教数学B版 (2)由(1)知B＝120°－C， 由题设及正弦定理得eq \r(2)sin A＋sin(120°－C)＝2sin C， 即eq \f(\r(6),2)＋eq \f(\r(3),2)cos C＋eq \f(1,2)sin C＝2sin C，可得cos(C＋60°)＝－eq \f(\r(2),2). 因为0°＜C＜120°，所以sin(C＋60°)＝eq \f(\r(2),2)， 故sin C＝sin(C＋60°－60°) ＝sin(C＋60°)cos 60°－cos(C＋60°)sin 60°＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4). 返回导航 下页 上页 必修第四册·人教数学B版 探究二　三角形中的面积问题 [例2]　(1)在△ABC中，A＝30°，C＝45°，a＝2，求S△ABC； (2)若△ABC的面积为eq \r(3)，BC＝2，C＝60°， 求边AB的长度． [解析]　(1)法一： ∵A＝30°，C＝45°，∴B＝105°， 由正弦定理得eq \f(b,sin B)＝eq \f(a,sin A)， b＝eq \f(a·sin B,sin A)＝eq \f(2sin 105°,sin 30°)＝4sin 105° ＝4(sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°)＝eq \r(2)＋eq \r(6). S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)×2(eq \r(2)＋eq \r(6))×eq \f(\r(2),2)＝1＋eq \r(3). 返回导航 下页 上页 必修第四册·人教数学B版 法二：设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理知