第九章 9.2 第2课时 距离、高度问题（课件PPT）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学必修第四册同步导学案（人教B版）

返回导航 下页 上页 必修第四册·人教数学B版 第2课时　距离、高度问题 返回导航 下页 上页 必修第四册·人教数学B版 关键能力 互动探究 课时作业 巩固提升 返回导航 下页 上页 必修第四册·人教数学B版 探究一　高度问题 [例1]　济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征．李明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A点测得泉标顶端的仰角为60°，他又沿着泉标底部方向前进15.2m，到达B点，又测得泉标顶部仰角为80°.你能帮李明同学求出泉标的高度吗？(最后结果精确到1m，参考数据：sin 80°≈0.985， sin 20°≈0.342) 返回导航 下页 上页 必修第四册·人教数学B版 [解析]　点C，D分别为泉标的底部和顶端． 依题意，∠BAD＝60°，∠CBD＝80°，AB＝15.2 m， 则∠ABD＝100°，故∠ADB＝180°－(60°＋100°)＝20°. 在△ABD中，根据正弦定理，eq \f(BD,sin 60°)＝eq \f(AB,sin∠ADB). ∴BD＝eq \f(AB·sin 60°,sin 20°)＝eq \f(15.2·sin 60°,sin 20°)≈38.5(m)． 在Rt△BCD中，CD＝BDsin 80°＝38.5·sin 80°≈38(m)， 即泉城广场上泉标的高约为38 m. 返回导航 下页 上页 必修第四册·人教数学B版 对于底部不可到达的建筑物的高度测量问题，我们可选择一条过建筑物底部点的基线，在基线和基线所在的平面上取另外两点，这样四点可以构成两个小三角形．其中，把不含未知高度的那个小三角形作为依托，从中解出相关量，进而应用到含未知高度的三角形中，利用正弦或余弦定理解决即可． 返回导航 下页 上页 必修第四册·人教数学B版 1.如图，在测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测量点C和D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB. 返回导航 下页 上页 必修第四册·人教数学B版 解析：在△BCD中，∠BCD＝α，∠BDC＝β， ∴∠CBD＝180°－(α＋β)， ∴eq \f(BC,sinβ)＝eq \f(s,sin[180°－α＋β])， 即eq \f(BC,sinβ)＝eq \f(s,sinα＋β)， ∴BC＝eq \f(sinβ,sinα＋β)·s. 在△ABC中，由于∠ABC＝90°，∴eq \f(AB,BC)＝tan θ， ∴AB＝BC·tan θ＝eq \f(sin βtan θ,sinα＋β)·s. 返回导航 下页 上页 必修第四册·人教数学B版 探究二　角度问题 [例2]　某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°，距离为10 km的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10 km/h的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以10eq \r(3) km/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间． 返回导航 下页 上页 必修第四册·人教数学B版 [解析]　如图所示， 设t小时后，舰艇与渔船在B处靠近，则AB＝10eq \r(3)t，CB＝10t，由题意得∠ACB＝45°＋(180°－105°)＝120°，在△ABC中，根据余弦定理，则有AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 120°，可得(10eq \r(3)t)2＝102＋(10t)2－2×10×10tcos 120°，整理得2t2－t－1＝0，解得t＝1或t＝－eq \f(1,2)(舍去)． 返回导航 下页 上页 必修第四册·人教数学B版 所以舰艇需1小时靠近渔船．此时AB＝10eq \r(3)，BC＝10，在△ABC中， 由正弦定理得eq \f(BC,sin∠CAB)＝eq \f(AB,sin120°)， 所以sin ∠CAB＝eq \f(BCsin120°,AB)＝eq \f(10×\f(\r(3),2),10\r(3))＝eq \f(1,2). 又因为∠CAB为锐角，所以∠CAB＝30°. 所以舰艇航行的方位角∠BAD＝45°＋30°＝75°. 即舰艇航行的方位角为75°，航行的时间为1小时． 返回导航 下页 上页 必修第四册·人教数学B版 1．三角形问题中，求某些角的度数时，最好用余弦定理，这是因为：余弦函数在(0，π)上是单调递减的，由所求得余弦值，不用判断角的个数问题(主要区别钝角、锐角问题)，答案是唯一的，而正弦函数在(0，π)上不是单调的，因而求出正弦值后有两个角对应，还需判断角的合理性．若用正弦定理求角，应结合具体图形来判断角的解的个数，也可尽量地利用直角三角形来解答． 2．测量角度问题的情境属于“根据需要对某些