第九章 9.1 9.1.2 余弦定理（课件PPT）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学必修第四册同步导学案（人教B版）

返回导航 下页 上页 必修第四册·人教数学B版 9．1.2　余弦定理 返回导航 下页 上页 必修第四册·人教数学B版 内　容　标　准 学　科　素　养 1.会借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系． 2.掌握余弦定理及其推论． 3.能够利用余弦定理及推论解三角形. 数学抽象 逻辑推理 数学运算 返回导航 下页 上页 必修第四册·人教数学B版 必备知识 自主探究 关键能力 互动探究 课时作业 巩固提升 返回导航 下页 上页 必修第四册·人教数学B版 [教材提炼] 知识点　余弦定理及其推论 语言表述 三角形任何一边的平方，等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的2倍． 符号表示 a2＝____________________； b2＝____________________； c2＝____________________. b2＋c2－2bccos A a2＋c2－2accos B a2＋b2－2abcos C 返回导航 下页 上页 必修第四册·人教数学B版 推论 cos A＝________________； cos B＝________________； cos C＝________________. eq \f(b2＋c2－a2,2bc) eq \f(a2＋c2－b2,2ac) eq \f(a2＋b2－c2,2ab) 返回导航 下页 上页 必修第四册·人教数学B版 [自主检测] 1．(多选题)在△ABC中，不符合余弦定理的是(　　) A．c2＝a2＋b2－2abcos C B．c2＝a2－b2－2bccos A C．b2＝a2－c2－2bccos A D．cos C＝eq \f(a2＋b2＋c2,2ab) 答案：BCD 返回导航 下页 上页 必修第四册·人教数学B版 2. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝4，b＝5，c＝eq \r(61)，则角C等于(　　) A．120°　　　　　　　 B．90° C．60° D．45° 解析：由余弦定理，得cos C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(42＋52－\r(61)2,2×4×5)＝－eq \f(1,2)，所以C＝120°，故选A. 答案：A 返回导航 下页 上页 必修第四册·人教数学B版 3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＋c2－b2＝eq \r(3)ac，则角B等于(　　) A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.eq \f(π,6)或eq \f(5π,6) D.eq \f(π,3)或eq \f(2π,3) 解析：由余弦定理知a2＋c2－b2＝2accos B，因为a2＋c2－b2＝eq \r(3)ac，所以cos B＝eq \f(\r(3),2)，故B＝eq \f(π,6). 答案：A 返回导航 下页 上页 必修第四册·人教数学B版 4．已知在△ABC中，a＝1，b＝2，C＝60°，则c＝________. 解析：由余弦定理，得c2＝12＋22－2×1×2×cos 60°＝3，所以c＝eq \r(3). 答案：eq \r(3) 返回导航 下页 上页 必修第四册·人教数学B版 探究一　已知两边及一角解三角形 [例1]　(1)在△ABC中，已知a＝2，b＝2eq \r(2)，C＝15°，求角A. (2)在△ABC中，已知b＝3，c＝3eq \r(3)，B＝30°，求a. 返回导航 下页 上页 必修第四册·人教数学B版 [解析]　(1)cos 15°＝cos (45°－30°)＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4). 由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝4＋8－2eq \r(2)×(eq \r(6)＋eq \r(2))＝8－4eq \r(3)， ∴c＝eq \r(6)－eq \r(2). ∴cos A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(\r(3),2). 又0°<A<180°，∴A＝30°. (2)把b＝3，c＝3eq \r(3)，B＝30°代入b2＝a2＋c2－2accos B，可得32＝a2＋(3eq \r(3))2－2a·3eq \r(3)·cos 30°，即a2－9a＋18＝0，解得a＝6或a＝3. 返回导航 下页 上页 必修第四册·人教数学B版 已知三角形的两边及一角解三角形的方法 已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边的夹角，还是其中一边的对角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三条边． 返回导航 下页 上页 必修第四册·人教数学B版 1．(1)在△ABC中，AC＝2，AB＝2(eq \r(3)＋1)，