第二章 §4 4.2 第2课时 直线与双曲线的位置关系（课件PPT）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册同步导学案（北师大版）

数学·选择性必修 第一册 返回导航 下页 上页 §4　直线与圆锥曲线的位置关系 4．2　直线与圆锥曲线的综合问题 第2课时　直线与双曲线的位置关系 数学·选择性必修 第一册 返回导航 下页 上页 必备知识 自主探究 关键能力 互动探究 课时作业 巩固提升 数学·选择性必修 第一册 返回导航 下页 上页 [教材提炼] 知识点一　直线与双曲线的交点 知识梳理　把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为一元二次方程，在二次项系数不为零的情况下考查方程的判别式． (1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的交点． (2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点． (3)Δ<0时，直线与双曲线没有公共点． 当二次项系数为0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点． 数学·选择性必修 第一册 返回导航 下页 上页 知识点二　双曲线弦长公式的两种形式 知识梳理　(1)距离公式法：当弦的两端点坐标易求时，可直接求出交点坐标，再利用两点间距离公式求弦长． (2)弦长公式法：当弦的两端点坐标不易求时，可利用弦长公式求解，即若直线l：y＝kx＋b(k≠0)与双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|或|AB|＝ eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|. 数学·选择性必修 第一册 返回导航 下页 上页 授课提示：对应学生用书第44页 题型一　直线与双曲线的交点问题 [典例]　已知直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4. (1)若直线与双曲线没有公共点，求k的取值范围； (2)若直线与双曲线有两个公共点，求k的取值范围； (3)若直线与双曲线只有一个公共点，求k的值． 数学·选择性必修 第一册 返回导航 下页 上页 [解析]　由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,x2－y2＝4，)) 得(1－k2)x2＋2kx－5＝0.① (1)直线与双曲线没有公共点，则①式方程无解． ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－k2≠0，,Δ＝4k2＋201－k2<0，)) 解得k>eq \f(\r(5),2)或k<－eq \f(\r(5),2)， 则k的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(\r(5),2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)，＋∞)). 数学·选择性必修 第一册 返回导航 下页 上页 (2)直线与双曲线有两个公共点，则①式方程有两个不相等的根． ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－k2≠0，,Δ＝4k2＋201－k2>0，))解得－eq \f(\r(5),2)<k<eq \f(\r(5),2)且k≠±1. 则k的取值范围是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(k\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1())－\f(\r(5),2)＜k＜\f(\r(5),2)且k≠1)). (3)直线与双曲线只有一个公共点，则①式方程只有一解． 当1－k2＝0，即k＝±1时，①式方程只有一解； 当1－k2≠0时，应满足Δ＝4k2＋20(1－k2)＝0， 解得k＝±eq \f(\r(5),2)，故k的值为±1或±eq \f(\r(5),2). 数学·选择性必修 第一册 返回导航 下页 上页 研究直线与双曲线的位置关系，一般通过解直线方程与双曲线方程所组成的方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，　①,\f(x2,a2)－\f(y2,b2)＝1　②))的解的个数进行判断． ①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0. 当b2－a2k2＝0，即k＝±eq \f(b,a)时，直线与双曲线渐近线平行时，直线与双曲线交于一点． 数学·选择性必修 第一册 返回导航 下页 上页 当b2－a2k2≠0，即k≠±eq \f(b,a)时， Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)． Δ>0⇔直线与双曲线有两个交点，称直线与双曲线相交； Δ＝0⇔直线与双曲线有一个交点，称直线与双曲线相切； Δ<0⇔直线与双曲线没有交点，称直线与双曲线相离． 通过几何图形也可判定直线与双曲线的位置关系，一般通过直线与渐近线的位置关系进行判断(图中α为渐近线倾斜角，θ为直线l倾斜角)． 数学·选择性必修 第一册 返回导航 下页 上页 如图①，θ