第二章 §2 2.2 双曲线的简单几何性质（课件PPT）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册同步导学案（北师大版）

数学·选择性必修 第一册 返回导航 下页 上页 §2　双曲线 2．2　双曲线的简单几何性质 数学·选择性必修 第一册 返回导航 下页 上页 必备知识 自主探究 关键能力 互动探究 课时作业 巩固提升 数学·选择性必修 第一册 返回导航 下页 上页 [提示]　范围、对称性、顶点、离心率、渐近线． [教材提炼] 知识点一　双曲线的简单几何性质 预习教材，思考问题 1．类比椭圆的几何性质，结合图象，你能得到双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的哪些几何性质？ 数学·选择性必修 第一册 返回导航 下页 上页 2．只根据渐近线方程能确定双曲线方程吗？ [提示]　不能．因为不能根据渐近线方程的斜率确定焦点位置，而渐近线方程中斜率只是比值． 3．椭圆中，离心率可以刻画椭圆的扁平程度，在双曲线中，离心率描述怎样的特征？ [提示]　双曲线的离心率描述双曲线“开口”的大小，离心率越大，双曲线的“开口”越大． 数学·选择性必修 第一册 返回导航 下页 上页 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 知识梳理　双曲线的几何性质 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0) eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0) 图形 范围 ________________________ ________________________ 数学·选择性必修 第一册 返回导航 下页 上页 x轴、y轴 (0,0) (－a,0) (a,0) (0，－a) (0，a) 2a 2b e＞1 焦点在x轴上 焦点在y轴上 对称性 对称轴：_______________　对称中心：__________ 顶点 A1__________，A2________ A1__________，A2________ 轴长 实轴长|A1A2|＝______，虚轴长|B1B2|＝______ 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 离心率 e＝___且_________ 渐近线 y＝±eq \f(b,a)x　　 y＝±eq \f(a,b)x eq \f(c,a) 数学·选择性必修 第一册 返回导航 下页 上页 知识点二　等轴双曲线 预习教材，思考问题 实轴和虚轴相等的双曲线的渐近线方程和离心率分别是什么？ [提示]　实轴和虚轴相等的双曲线的渐近线方程是y＝±x，离心率是eq \r(2). 数学·选择性必修 第一册 返回导航 下页 上页 知识梳理　(1) _______________等长的双曲线叫作等轴双曲线． (2)等轴双曲线具有以下性质： ①方程形式为____________________； ②渐近线方程为__________，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角； ③实轴长和虚轴长都等于______，离心率e＝___. 实轴和虚轴 x2－y2＝λ(λ≠0) y＝±x 2a eq \r(2) 数学·选择性必修 第一册 返回导航 下页 上页 题型一　已知双曲线的标准方程求其几何性质 [典例]　求双曲线nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程． [解析]　把方程nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)化为标准方程为eq \f(x2,m)－eq \f(y2,n)＝1(m＞0，n＞0)， 由此可知，实半轴长a＝eq \r(m)， 虚半轴长b＝eq \r(n)，c＝eq \r(m＋n)， 数学·选择性必修 第一册 返回导航 下页 上页 焦点坐标为(eq \r(m＋n)，0)，(－eq \r(m＋n)，0)， 离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(m＋n),\r(m))＝eq \r(1＋\f(n,m))， 顶点坐标为(－eq \r(m)，0)，(eq \r(m)，0)， 所以渐近线方程为y＝±eq \f(\r(n),\r(m)) x， 即y＝±eq \f(\r(mn),m)x. 数学·选择性必修 第一册 返回导航 下页 上页 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键． (2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值． (3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质. 数学·选择性必修 第一册 返回导航 下页 上页 [跟踪训练] 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近