第一章 §1 1.6 平面直角坐标系中的距离公式（课件PPT）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册同步导学案（北师大版）

数学·选择性必修 第一册 返回导航 下页 上页 §1　直线与直线的方程 1．6　平面直角坐标系中的距离公式 数学·选择性必修 第一册 返回导航 下页 上页 必备知识 自主探究 关键能力 互动探究 课时作业 巩固提升 数学·选择性必修 第一册 返回导航 下页 上页 [教材提炼] 知识点一　两点间的距离公式 预习教材，思考问题 1．已知两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，那么向量eq \o(P1P2,\s\up16(→))的坐标是什么？ [提示]　eq \o(P1P2,\s\up16(→))＝(x2－x1，y2－y1)． 2．根据向量的模的计算公式，你能推出|eq \o(P1P2,\s\up16(→))|的公式吗？ [提示]　|eq \o(P1P2,\s\up16(→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).　　　 数学·选择性必修 第一册 返回导航 下页 上页 知识梳理　 (1)平面内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝___________________________. (2)两点间距离的特殊情况 ①原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝____________. ②当P1P2∥x轴(y1＝y2)时，|P1P2|＝____________. ③当P1P2∥y轴(x1＝x2)时，|P1P2|＝____________. |x2－x1| |y2－y1| eq \r(x2－x12＋y2－y12) eq \r(x2＋y2) 数学·选择性必修 第一册 返回导航 下页 上页 知识点二　点到直线的距离 预习教材，思考问题 1．如图，什么是平面上点P到直线l的距离？ [提示]　点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足． 数学·选择性必修 第一册 返回导航 下页 上页 2．如图，设点P(x0，y0)，直线l：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)，如何求垂足Q的坐标？如何求|PQ|的长？ [提示]　由PQ⊥l，直线l的斜率为－eq \f(A,B)，可得l的垂线PQ的斜率为eq \f(B,A)， 因此，垂线PQ的方程为y－y0＝eq \f(B,A)(x－x0)， 即Bx－Ay＝Bx0－Ay0. 解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,Bx－Ay＝Bx0－Ay0，)) 得直线l与PQ的交点坐标， 数学·选择性必修 第一册 返回导航 下页 上页 即垂足Q的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(B2x0－ABy0－AC,A2＋B2)，\f(－ABx0＋A2y0－BC,A2＋B2))) 于是|PQ|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(B2x0－ABy0－AC,A2＋B2)－x0))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－ABx0＋A2y0－BC,A2＋B2)－y0))2) ＝ eq \r(\f(Ax0＋By0＋C2,A2＋B2))＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).　　　 数学·选择性必修 第一册 返回导航 下页 上页 3．我们知道，向量是解决距离、夹角问题的有力工具．如图，设n是与直线l的方向向量垂直的单位向量， 如何从向量投影的角度得出eq \o(PQ,\s\up16(→))的模的表达式？ [提示]　设M(x，y)是直线l上的任意一点，则eq \o(PQ,\s\up16(→))是eq \o(PM,\s\up16(→))在n上的投影向量，|eq \o(PQ,\s\up16(→))|＝|eq \o(PM,\s\up16(→))·n|. 数学·选择性必修 第一册 返回导航 下页 上页 4．设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是直线l：Ax＋By＋C＝0上的任意两点，如何利用直线l的方程得到与l的方向向量垂直的单位向量n? [提示]　eq \o(P1P2,\s\up16(→))＝(x2－x1，y2－y1)是直线l的方向向量．把Ax1＋By1＋C＝0，Ax2＋By2＋C＝0两式相减，得A(x2－x1)＋B(y2－y1)＝0.由平面向量的数量积运算可知，向量(A，B)与向量(x2－x1，y2－y1)垂直．向量eq \f(1,\r(A2＋B2))(A，B)就是与直线l的方向向量垂直的一个单位向量，我们取n＝eq \f(1,\r(A2＋B2))(A，B)． 数学·选择性必修 第一册 返回导航 下页 上页 5．根据问题3,4的内容，你能得出|PQ|的长吗？ [提示]　eq \o(PM,\s