2.2 第一课时 基本不等式（课时作业）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学必修第一册同步导学案（人教A版）

A层(必备知识练) 1．下列不等式正确的是(　　) A．a＋≥2 B．(－a)＋≤－2 C．a2＋≥2 D．(－a)2＋≤－2 解析：选项A：当a＜0时显然不成立；选项B：当a＜0时，不成立；选项C：由基本不等式得a2＋≥2 ＝2，当且仅当a2＝即a＝±1时取等号，故C正确；选项D：由(－a)2＞0，＞0知显然不成立． 答案：C 2．已知y＝x＋－2(x<0)，则y有(　　) A．最大值为0　　　　　　 B．最小值为0 C．最大值为－4 D．最小值为－4 解析：∵x＜0，∴y＝x＋－2＝－[(－x)＋]－2≤－2 －2＝－4，当且仅当－x＝－，即x＝－1时取等号． 答案：C 3．下列不等式中正确的是(　　) A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab C．≥ D．x2＋≥2 解析：a<0，则a＋≥4不成立，故A错误；a＝1，b＝1，a2＋b2<4ab，故B错误；a＝4，b＝16，则<，故C错误；由基本不等式可知D项正确． 答案：D 4．给出下列条件：①ab>0；②ab<0；③a>0，b>0；④a<0，b<0，其中能使＋≥2成立的条件有(　　) A.1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：当，均为正数时，＋≥2，故只须a，b同号即可，∴①③④均可以． 答案：C 5．小王从甲地到乙地的往返时速分别为a和b(a<b)，其全程的平均时速为v，则(　　) A．a<v< B．v＝ C．<v< D．v＝ 解析：设甲、乙两地之间的距离为s. ∵a<b，∴v＝＝＝<＝. 又v－a＝－a＝>＝0，∴v>a. 答案：A 6．已知a>b>c，则与的大小关系是________． 答案：≤ 7．设x＞0，求证：x＋≥. 证明：因为x＞0，所以x＋＞0， 所以x＋＝x＋ ＝x＋＋－ ≥2－＝. 当且仅当x＋＝，即x＝时，等号成立． 8．(1)证明不等式a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca； (2)已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：＋＋≥a＋b＋c. 证明：(1)∵a2＋b2≥2ab， b2＋c2≥2bc， c2＋a2≥2ac. ∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)(当且仅当a＝b＝c取等号) ∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. (2)∵a＞0，b＞0，c＞0，∴＞0，＞0，＞0. 则＋≥2＝2c，＋≥2b，＋≥2a. 由不等式的性质知，2≥2(a＋b＋c)， ∴＋＋≥a＋b＋c. B层(关键能力练) 9．已知当x＝a时，代数式x－4＋(x＞－1)取得最小值b，则a＋b＝(　　) A．－3 B．2 C．3 D．8 解析：y＝x－4＋＝x＋1＋－5，由x＞－1，得x＋1＞0，＞0，所以由基本不等式得y＝x＋1＋－5≥2 －5＝1，当且仅当x＋1＝，即x＝2时，等号成立．所以a＝2，b＝1，a＋b＝3. 答案：C 10．若－4＜x＜1，则f(x)＝(　　) A．有最小值1 B．有最大值1 C．有最小值－1 D．有最大值－1 解析：当－4＜x＜1时f(x)＝＝＝－≤－2 ＝－1.当且仅当＝，即x＝0时等号成立． 答案：D 11．已知x≥1，则函数y＝的最大值是________． 解析：∵x≥1，∴y＝＝≤＝.当且仅当x＝且x≥1，即x＝2时等号成立． 答案： 12．已知关于x的不等式2x＋≥7在x＞a上恒成立，则实数a的最小值为________． 解析：因为x＞a，所以2x＋＝2(x－a)＋＋2a≥2＋2a＝2a＋4，即2a＋4≥7，所以a≥.即a的最小值为. 答案： 13．设y＝x＋，求y的取值范围． 解析：当x＞0时，y＝x＋≥2＝2. 当且仅当x＝，即x＝1时取“＝”． 当x＜0时，y＝x＋＝－ ∵(－x)＋≥2 ∴－≤－2. 当且仅当x＝时，即x＝－1时取“＝”． ∴y的取值范围为{y|y≤－2，或y≥2}． 14．已知a，b，c为不全相等的正实数，且abc＝1. 求证：＋＋＜＋＋. 证明：因为a，b，c都是正实数，且abc＝1， 所以＋≥2＝2， ＋≥2＝2， ＋≥2＝2， 以上三个不等式相加，得 2≥2(＋＋)， 又因为a，b，c不全相等，所以＋＋＜＋＋. C层(素养培优练) 15．若a＞0，b＞0，且(a＋b)＝1. (1)求ab的最大值； (2)是否存在a，b，使得＋的值为，并说明理由． 解析：(1)∵(a＋b)＝1，∴a＋b＝ . ∵a＞0，b＞0，∴a＋b≥2，当且仅当a＝b＝时，等号成立，∴≥2 ，∴ab≤，当且仅当a＝b＝时，等号成立，∴ab的最大值为. (2)不存在．理由如下， ∵a＞0，b＞0，∴＋≥2 ＝≥，当且仅当a＝b＝时，等号成立． ∵＜，∴不存在a，b使得＋的值为. $