2.2 第二课时 基本不等式的应用（课时作业）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学必修第一册同步导学案（人教A版）

A层(必备知识练) 1．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　) A．　　　　　　　 B．2 C．2 D．4 解析：因为＋＝，所以a，b同号且均大于零，由基本不等式可得＝＋≥2，所以ab≥2. 当且仅当＝时取等号，所以ab最小值为2. 答案：C 2．若a，b都是正数，则·的最小值为(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 解析：∵a，b都是正数，∴＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当b＝2a＞0时取等号． 答案：C 3．已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是(　　) A．3 B．4 C． D． 解析：由题意知，x＋2y＝8－x·2y≥8－，整理得(x＋2y－4)(x＋2y＋8)≥0，又x＋2y＞0，所以x＋2y≥4. 答案：B 4．已知一次函数mx＋ny＝－2过点(－1，－2)(m＞0，n＞0).则＋的最小值为(　　) A．3 B．2 C． D． 解析：由题意得＋n＝1， 所以＋＝(＋)(＋n)＝＋＋≥＋2＝，当且仅当＝即m＝n时取等号． 答案：C 5．(多选题)下列命题中真命题有(　　) A．若a2＋b2＝2，则a＋b的最大值为2 B．当a＞0，b＞0时，＋＋2 ≥4 C．y＝x＋的最小值为5 D．当且仅当a，b均为正数时，＋≥2恒成立 解析：A.若a2＋b2＝2，则a＋b的最大值为2，a2＋b2＝2≥2ab⇒(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≤4⇒a＋b≤2，正确；B.当a＞0，b＞0时，＋＋2 ≥4，＋＋2 ≥2×＋2 ≥4，当且仅当a＝b＝1时等号成立，正确；C.y＝x＋的最小值为5，取x＝0，则y＝－4，错误；D.当且仅当a，b均为正数时，＋≥2恒成立，ab均为负数时也成立，错误． 答案：AB 6．已知t＞0，则的最小值为________． 解析：＝t＋－3≥2 －3＝－1，当且仅当t＝1时取等号． 答案：－1 7．已知正实数x，y满足x＋y＋3＝xy，则x＋y的最小值为________． 解析：由题意知x＋y＋3＝xy≤，所以(x＋y)2－4(x＋y)－12≥0，所以(x＋y－6)(x＋y＋2)≥0，所以x＋y≥6或x＋y≤－2(舍去)，所以x＋y的最小值为6，当且仅当x＝y＝3时取等号． 答案：6 8．已知直线l：ax＋by－ab＝0(a＞0，b＞0)经过点(2，3)，则a＋b的最小值为________． 解析：∵直线l经过点(2，3)，∴2a＋3b－ab＝0即＋＝1，又∵a＞0，b＞0.∴a＋b＝(a＋b)·＝＋＋5≥2 ＋5＝2 ＋5，当且仅当＝，即a＝3＋ ，b＝2＋ 时等号成立． 答案：5＋2 9．已知a＞0，b＞0，a＋2b＝3，求＋的最小值． 解析：由a＋2b＝3得a＋b＝1， 所以＋＝＝＋＋≥＋2＝. 当且仅当a＝2b＝时取等号． 10．运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升6元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元． (1)求这次行车总费用y关于x的表达式； (2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值． 解析：(1)设所用时间为t＝小时，则y＝×6×＋14×，50≤x≤100.所以，这次行车总费用y关于x的表达式是y＝＋x，50≤x≤100. (2)y＝＋x≥，当且仅当＝x， 即x＝2，等号成立．又2＜50，所以当x＝50时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为y＝＋×50＝(元). B层(关键能力练) 11．若正实数x，y满足x＋y＝2，且≥M恒成立，则M的最大值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：因为正实数x，y满足x＋y＝2， 所以xy≤＝＝1，所以≥1； 又≥M恒成立，所以M≤1， 即M的最大值为1. 答案：A 12．已知a，b∈(0，＋∞)，且a＋b＋＋＝5，则a＋b的取值范围是(　　) A．1≤a＋b≤4 B．a＋b≥2 C．2＜a＋b＜4 D．a＋b＞4 解析：因为a＋b＋＋＝(a＋b)＝5，又a，b∈(0，＋∞)，所以a＋b＝≤，当且仅当a＝b时，等号成立，即(a＋b)2－5(a＋b)＋4≤0，解得1≤a＋b≤4. 答案：A 13．设a，b为非零实数，给出不等式： ①≥ab；②≥；③≥；④＋≥2.其中恒成立的不等式是________． 解析：由重要不等式a2＋b2≥2ab，可知①正确；＝＝≥＝＝，可知②正确；当a＝b＝－1时，不等式的左边为＝－1，右边为＝－，可知③不正确；当a＝1，b＝－1时，可知④不正确． 答案：①② 14．正数a，b满足＋＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是________． 解析：因为a＞0，b＞0，