1.5 1.5.1 1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定（课时作业）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学必修第一册同步导学案（人教A版）

A层(必备知识练) 1．存在量词命题“存在实数x，使x2＋1<0”可写成(　　) A．若x∈R，则x2＋1<0 B．∀x∈R，x2＋1<0 C．∃x∈R，x2＋1<0 D．以上都不正确 解析：由存在量词命题的特点得到结果，即含存在量词的命题，用“∃”符号表示． 答案：C 2．命题“存在x∈Z，使x2＋2x＋m≤0”的否定命题是(　　) A．存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0 B．不存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0 C．对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m≤0 D．对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m>0 解析：互换量词，否定性质． 答案：D 3．下列全称量词命题中是真命题的个数是(　　) ①所有偶数都能被2整除； ②所有的奇数都能被3整除； ③任意实数的平方都不小于零． A．0　　　　　　　　 B．1 C．2 D．3 解析：正确的为①③. 答案：C 4．下列命题不是“∃x∈R，x2>3”的表述方法的是(　　) A．有一个x∈R，使得x2>3成立 B．对有些x∈R，使得x2>3成立 C．任选一个x∈R，使得x2>3成立 D．至少有一个x∈R，使得x2>3成立 解析：C是全称量词命题． 答案：C 5．(多选题)下列命题为真命题的为(　　) A．∀x∈R，x2＋x＋1＞0 B．当ac＞0时，∃x∈R，ax2＋bx－c＝0 C．|x－y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0 D．“－2＜x＜3”是“(x2－2|x|＋4)(x2－2x－3)＜0”的必要不充分条件 解析：对于A，由于Δ＝－3＜0，所以A是真命题；对于B，由于ac＞0，所以Δ＝b2＋4ac＞0，所以方程ax2＋bx－c＝0有实数根，故B是真命题；对于C，由|x－y|＝|x|＋|y|，得|x－y|2＝(|x|＋|y|)2，整理得－xy＝|xy|，所以xy≤0，故|x－y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≤0，故C不是真命题；对于D，因为x2－2|x|＋4＝(|x|－1)2＋3＞0，所以(x2－2|x|＋4)(x2－2x－3)＜0等价于x2－2x－3＜0，由x2－2x－3＜0，可得－1＜x＜3，所以“－2＜x＜3”是“(x2－2|x|＋4)(x2－2x－3)＜0”的必要不充分条件，所以D是真命题． 答案：ABD 6．下列语句中是全称量词的命题有________，是存在量词命题的有________． (1)2x＋1是整数； (2)对任意一个x∈Z，2x＋1是整数； (3)至少有一个x∈Z，使2x＋1为整数； (4)x∈R，|x|＋1≥1. 答案：(2)(4)　(3) 7．命题“a，b，c三个数全相等”的否定是________． 解析：“a，b，c三个数全相等”的意义是“a＝b且b＝c且a＝c”，它的否定即为“a≠b或b≠c或c≠a”，可表述为a，b，c三个数不全相等． 答案：a，b，c三个数不全相等 8．某校开展小组合作学习模式，高二某班某组王小一同学给组内王小二同学出题如下：若命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求实数m的取值范围．王小二略加思索，反手给了王小一一道题：若命题“∀x∈R，x2＋2x＋m＞0”是真命题，求实数m的取值范围．你认为，两位同学题中实数m的取值范围的关系是________(填“相同”或“不同”). 解析：因为命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”的否定是“∀x∈R，x2＋2x＋m＞0”，而命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，则其否定“∀x∈R，x2＋2x＋m＞0”为真命题，所以两位同学题中实数m的取值范围是相同的． 答案：相同 9．写出下列命题的否定． (1)若x2＞4，则x＞2； (2)若m≥0，则x2＋x－m＝0有实数根； (3)被8整除的数能被4整除； (4)若一个四边形是正方形，则它的四条边相等． 解析：(1)否定：存在实数x，虽然满足x2＞4，但x≤2.或者说：存在小于或等于2的数x，满足x2＞4.(原意表达为对任意的实数x，若x2＞4则x＞2) (2)否定：虽然实数m≥0，但存在一个x，使x2＋x－m＝0无实数根．(原意表达：对任意实数m，若m≥0，则x2＋x－m＝0有实数根．) (3)否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除．(原意表达为所有能被8整除的数都能被4整除) (4)否定：存在一个四边形，虽然它是正方形，但四条边中至少有两条不相等．(原意表达为无论哪个四边形，若它是正方形，则它的四条边中任何两条都相等．) 10．写出下列命题的否定并判断真假： (1)所有自然数的平方都是正数； (2)任何实数x都是方程5x－12＝0的根； (3)∀x∈R，x2＋3＜0； (4)有些质数不是奇数． 解析：(1)命题的否定：至少存在一个自然数的平方不是正数．真命题． (2)命题的否定：∃x∈R，5x－12≠0.真命题．