第二章 §3 第1课时 函数的单调性（课时作业）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学必修第一册同步导学案（北师大版）

[A基础练] 1．已知函数y＝f(x)是定义在R上的增函数，则f(x)＝0的根(　　) A．有且只有一个 B．有两个 C．至多有一个 D．以上均不对 解析：因为f(x)在R上是增函数，所以对任意x1，x2∈R，若x1＜x2，则f(x1)＜f(x2)，反之亦成立．故若存在f(x0)＝0，则x0只有一个．若对任意x∈R都无f(x)＝0，则f(x)＝0无根． 答案：C 2．(多选题)下列四个函数中在(－∞，0]上单调递减的是(　　) A．f(x)＝x2－2x B．f(x)＝3x2 C．f(x)＝x＋4 D．f(x)＝ 解析：在A中，f(x)＝x2－2x的单调递减区间是(－∞，1]，故A正确；在B中，f(x)＝3x2的单调递减区间是(－∞，0]，故B正确；在C中，f(x)＝x＋4在R上是增函数，故C错误；在D中，f(x)＝中，x≠0，故D错误． 答案：AB 3．若函数f(x)＝x2－2ax－3在[1,2]上是单调函数，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，1] B．[2，＋∞) C．[1,2] D．(－∞，1]∪[2，＋∞) 解析：∵f(x)的对称轴为x＝a，∴a≥2或a≤1. 答案：D 4．(多选题)如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，则下列结论中正确的是(　　) A.>0 B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0 C．f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b) D.>0 解析：由函数单调性的定义可知，若函数y＝f(x)在给定的区间上是增函数，则x1－x2与f(x1)－f(x2)同号，由此可知，选项A，B，D正确；对于C，若x1<x2时，可能有x1＝a或x2＝b，即f(x1)＝f(a)或f(x2)＝f(b)，故C不成立． 答案：ABD 5．函数f(x)＝|x2－6x＋8|的单调递增区间为(　　) A．[3，＋∞) B．(－∞，2)，(4，＋∞) C．(2,3)，(4，＋∞) D．(－∞，2]，[3,4] 解析：作出函数f(x)＝|x2－6x＋8|的图象如图所示． 由图象得，f(x)＝|x2－6x＋8|的单调递增区间为(2,3)和(4，＋∞)，故选C. 答案：C 6．如图所示为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，则函数f(x)的单调递增区间是________． 解析：根据函数单调性的几何意义，图象从左到右上升的区间是单调递增区间，从左到右下降的区间是单调递减区间，因此，函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的单调递增区间是和[5,6]． 答案：和[5,6] 7．如果函数y＝(2a－1)x＋b在R上是增函数，求a的取值范围． 解析：由题意知，2a－1>0，∴a>. 即a的取值范围是. [B能力练] 8．若函数f(x)的定义域为R，且在(0，＋∞)上单调递减，则下列不等式成立的是(　　) A．f >f(a2－a＋1) B．f ≥f(a2－a＋1) C．f <f(a2－a＋1) D．f ≤f(a2－a＋1) 解析：∵f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且a2－a＋1＝2＋≥>0，∴f(a2－a＋1)≤f . 答案：B 9．下列有关函数单调性的叙述中，正确的是(　　) A．y＝－在定义域上为增函数 B．y＝在[0，＋∞)上单调递增 C．y＝－3x2－6x的单调递减区间为[－1，＋∞) D．y＝ax＋3在(－∞，＋∞)上必为增函数 解析：对于A，其定义域为不含0的两个区间的并集，函数在各个区间上都是单调递增的，但不能说在整个定义域上为增函数；对于B，函数y＝在[0，＋∞)上单调递减；对于C，由y＝－3x2－6x＝－3(x＋1)2＋3，可求得函数的单调递减区间为[－1，＋∞)；对于D，函数的单调性与a的取值有关．故选C. 答案：C 10．函数y＝－(x－3)|x|的单调递增区间为________． 解析：y＝－(x－3)|x|＝作出其图象如图，观察图象知函数单调递增区间为. 答案： 11．已知函数y＝f(x)是R上的增函数，且f(2x－3)＞f(5x＋6)，求实数x的取值范围． 解析：因为f(x)是R上的增函数，且f(2x－3)＞f(5x＋6)，所以2x－3＞5x＋6，即x＜－3.故x的取值范围为(－∞，－3)． 12．若f(x)＝x2＋bx＋c，且f(1)＝0，f(3)＝0. (1)求b与c的值； (2)试证明函数f(x)在区间(2，＋∞)上是增函数． 解析：(1)∵f(1)＝0，f(3)＝0， ∴ 解得b＝－4，c＝3. (2)证明：由(1)知，f(x)＝x2－4x＋3， 任取x1，x2∈(2，＋∞)且x1<x2， 由f(x1)－f(x2)＝(x－4x1＋3)－(x－4x2＋3) ＝(x－x)－4(x1－x2)＝(x1－x2)(x1＋x2－4)， ∵x1－x2<0，x1>2