第一章 §4 4.3 一元二次不等式的应用（课时作业）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学必修第一册同步导学案（北师大版）

[A基础练] 1．设集合P＝{m|－1<m<0}，Q＝{m∈R|mx2＋4mx－4<0}对任意实数x恒成立，则下列关系中成立的是(　　) A．PQ B．QP C．P＝Q D．P∩Q＝∅ 解析：由题意可知Q满足或m＝0，即或m＝0，得－1＜m≤0，故PQ. 答案：A 2．若关于x的不等式x2－2x＋3>a2－2a－1对一切实数x都成立，则实数a的取值范围是________． 解析：因为y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，所以a2－2a－1<2，解得－1<a<3. 答案：{a|－1<a<3} 3．国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策．现知某种酒每瓶70元，不加附加税时，每年大约销售100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税k元(k%叫作税率)，则每年的销售量将减少10k万瓶．要使每年在此项经营中所收取附加税的金额不少于112万元，则k的取值范围为________． 解析：设收附加税后，每年销量为x万瓶，则每年的销售收入为70x万元，从中征收的税金为70x·k%万元，其中x＝100－10k.由题意，得70(100－10k)k%≥112，整理得k2－10k＋16≤0，解得2≤k≤8. 答案：{k|2≤k≤8} 4．不等式(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1＜0对一切x∈R恒成立，求实数m的取值范围． 解析：当m2－2m－3＝0时，解得m＝－1或m＝3. 当m＝3时，原不等式化为－1＜0恒成立； 当m＝－1时，原不等式化为4x－1＜0，所以x＜，故m＝－1不满足题意． 当m2－2m－3≠0时，由题意，得 即 所以－＜m＜3. 综上所述，实数m的取值范围是. 5．某商品的成本价80元/件，售价100元/件，每天售出100件，若售价降低x成(1成＝10%)，售出商品的数量就增加x成，要求售价不能低于成本价． (1)设该商店一天的营业额为y，试求出y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少10 260元，求x的取值范围． 解析：(1)依题意y＝100·100. 又售价不能低于成本价， 所以100－80≥0， 解得x≤2， 所以y＝f(x)＝40(10－x)(25＋4x)(0≤x≤2)． (2)由题意得40(10－x)(25＋4x)≥10 260， 化简得8x2－30x＋13≤0，解得≤x≤. 又x∈[0,2]， 所以x的取值范围为. 6.某单位在对一个长800 m、宽600 m的空地进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示，若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，试确定花坛宽度的取值范围． 解析：设花坛的宽度为x m，则草坪的长为(800－2x)m，宽为(600－2x)m，根据题意得(800－2x)·(600－2x)≥×800×600，整理得x2－700x＋60 000≥0，解不等式得x≥600(舍去)或x≤100，由题意知x>0，所以0<x≤100.当x∈(0,100]时，绿草坪的面积不小于总面积的二分之一． [B能力练] 7．若关于x的不等式2x2－8x－4－a≥0在1≤x≤4内有解，则实数a的取值范围是(　　) A．a≤－4 B．a≥－4 C．a≥－12 D．a≤－12 解析：因为y＝2x2－8x－4(1≤x≤4)在x＝4时，取最大值－4，所以当a≤－4时，2x2－8x－4≥a存在解． 答案：A 8．已知关于x的不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集为空集，则实数a的取值范围为________． 解析：若a＝－2，不等式可化为－1≥0，显然无解，满足题意；若a＝2，不等式的解集不是空集，不满足题意；若a≠±2，要使不等式的解集为空集，则解得－2<a<.综上，实数a的取值范围为. 答案： 9．甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得的利润是100·元． (1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x的取值范围； (2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润． 解析：(1)根据题意，得200≥3 000， 整理得5x－14－≥0， 即5x2－14x－3≥0， 解得x≥3或x≤－， 因为1≤x≤10， 所以3≤x≤10， 故要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，x的取值范围是{x|3≤x≤10}． (2)设利润为y元，则 y＝·100 ＝9×104 ＝9×104， 所以当x＝6时，ymax＝457 500，即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品获得的利润最大，最大利润为457 500元． 10．汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”，