1.4.3一元二次不等式的应用同步练习-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

第一章　§4　4.3一元二次不等式的应用 一、选择题 1．已知不等式x2＋ax＋4<0的解集为空集，则a的取值范围是( ) A．－4≤a≤4 B．－4<a<4 C．a≤－4，或a≥4 D．a<－4，或a>4 2．已知集合M＝，N＝{x|x≤－3}，则集合{x|x≥1}等于( ) A．M∩N B．M∪N C．∁R(M∩N) D．∁R(M∪N) 3．若存在x0∈R，使得x＋2x0＋m<0成立，则实数m的取值范围是( ) A．m≤1 B．m<1 C．m>1 D．m≥1 4．已知关于x的不等式x2－ax－b<0的解集是{x|2<x<3}，则a＋b的值是( ) A．－11 B．11 C．－1 D．1 5．当0≤x≤2时，若x2－2x－a≥0恒成立，则实数a的取值范围是( ) A．(－∞，－1] B．(－∞，0] C．(－∞，－1) D．(－∞，0) 6．如果方程x2＋(m－1)x＋m2－2＝0的两个实根一个小于－1，另一个大于1，那么实数m的取值范围是( ) A．－<m< B．－2<m<0 C．－2<m<1 D．0<m<1 7．不等式组的解集为( ) A．{x|－1<x<0} B．{x|－2<x<－1} C．{x|0<x<1} D．{x|x>1} 8．不等式<2的解集为( ) A．{x|x≠－2} B．R C．∅ D．{x|x<－2或x>2} 9．(多选题)不等式x2＋ax＋b≤0(a，b∈R)的解集为{x|x1≤x≤x2}，且|x1|＋|x2|≤2，其中错误的命题为( 　 ) A．|a|≥1 B．b≤1 C．|a＋2b|≥2 D．|a＋2b|≤2 10．(多选题)已知关于x的方程x2＋(m－3)x＋m＝0，下列结论正确的是( 　 ) A．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数根的充要条件是m∈{m|m<1或m>9} B．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正一负根的充要条件是m∈{m|m<0} C．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两正实数根的充要条件是m∈{m|0<m≤1} D．方程x2＋(m－3)x＋m＝0无实数根的必要条件是m∈{m|m>1} 二、填空题 11．若不等式x2－ax－a≤－3的解集为空集，则实数a的取值范围是　. 12．若关于x的不等式>0的解集为{x|x<－1或x>4}，则实数a＝　. 13．某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售就可能减少2 000本，要使提价后的销售总收入不低于20万元，则定价的最大值为___. 14．关于x的方程x2－(k＋1)x＋2k－1＝0的根一个大于4，另一个小于4，则实数k的取值范围是　 . 15．若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈成立，则a的最小值　 . 三、解答题 16．关于x的不等式E：ax2＋ax－2≤0，其中a∈R. (1)当a＝1时，求不等式E的解集； (2)若不等式E在R上恒成立，求实数a的取值范围． 17．汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速为40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m．已知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2. 问：甲、乙两车有无超速现象？ 18．如图，有一长AM＝30米，宽AN＝20米的矩形地块，物业计划将其中的矩形ABCD建为仓库，要求顶点C在地块的对角线MN上，B，D分别在边AM，AN上，其他地方建停车场和路，设AB＝x米． (1)求矩形ABCD的面积S关于x的函数解析式； (2)若要求仓库占地面积不小于144平方米，求x的取值范围． 第一章　§4　4.3一元二次不等式的应用 一、选择题 1．已知不等式x2＋ax＋4<0的解集为空集，则a的取值范围是( ) A．－4≤a≤4 B．－4<a<4 C．a≤－4，或a≥4 D．a<－4，或a>4 [解析]　由Δ＝a2－4×4≤0可得．故选A. 2．已知集合M＝，N＝{x|x≤－3}，则集合{x|x≥1}等于( ) A．M∩N B．M∪N C．∁R(M∩N) D．∁R(M∪N) [解析]　<0⇔(x＋3)(x－1)<0，故集合M可化为{x|－3<x<1}，将集合M和集合N在数轴上表示出来(如图)，易知答案为D. 3．若存在x0∈R，使得x＋2x0＋m<0成立，则实数m的取值范围是( ) A．m≤1 B．m<1 C．m>1 D．m≥1 [解析]　由题意可得Δ＝4－4m>0，∴m<1.故选B. 4．已知关于x的不等式x2－ax－b<0的解集是{x|2<x<3}，则a＋b的值是( ) A．－11 B．11 C．－1 D．1 [解析]　由已知可得2,3是方程x2－ax－b＝0的根，故a＝5，b＝－6，∴a＋b＝－1.故选C. 5．当0≤x≤2时，若x2－2x－a≥0恒成立，则实数a的取值范围是( ) A．(－∞，－1] B．(－∞，0] C．(－∞，－1) D．(－∞，0) [解析]　x2－2x－a≥0⇔a≤x2－2x，设y＝x2－2x＝(x－1)2－1,0≤x≤2，当x＝1时，ymin＝f(1)＝－1，要使x2－2x－a≥0恒成立，故有a≤－1.故选A. 6．如果方程x2＋(m－1)x＋m2－2＝0的两个实根一个小于－1，另一个大于1，那么实数m的取值范围是( ) A．－<m< B．－2<m<0 C．－2<m<1 D．0<m<1 [解析]　令y＝x2＋(m－1)x＋m2－2，则当x＝1时，y<0且x＝－1时，y<0， 即解得0<m<1.故选D. 7．不等式组的解集为( ) A．{x|－1<x<0} B．{x|－2<x<－1} C．{x|0<x<1} D．{x|x>1} [解析]　由x(x＋2)>0，得x>0或x<－2.又由|x|<1，得－1<x<1，所以不等式组的解集为{x|0<x<1}．故选C. 8．不等式<2的解集为( ) A．{x|x≠－2} B．R C．∅ D．{x|x<－2或x>2} [解析]　∵x2＋x＋1>0恒成立， ∴原不等式⇔x2－2x－2<2x2＋2x＋2⇔x2＋4x＋4>0⇔(x＋2)2>0， ∴x≠－2，∴不等式的解集为{x|x≠－2}．故选A. 9．(多选题)不等式x2＋ax＋b≤0(a，b∈R)的解集为{x|x1≤x≤x2}，且|x1|＋|x2|≤2，其中错误的命题为( 　 ) A．|a|≥1 B．b≤1 C．|a＋2b|≥2 D．|a＋2b|≤2 [解析]　由题意知x1x2＝b，|x1|＋|x2|≤2，不妨令a＝－1，b＝0，则x1＝0，x2＝1，但|a＋2b|＝1，所以C不正确；令a＝2，b＝1，则x1＝x2＝1，但|a＋2b|＝4，所以D不正确；令a＝0，b＝－1，则x1＝－1，x2＝1，但|a|＝0，故A不正确；b＝x1x2≤2≤2≤1，所以B正确．故选ACD. 10．(多选题)已知关于x的方程x2＋(m－3)x＋m＝0，下列结论正确的是( 　 ) A．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数根的充要条件是m∈{m|m<1或m>9} B．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正一负根的充要条件是m∈{m|m<0} C．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两正实数根的充要条件是m∈{m|0<m≤1} D．方程x2＋(m－3)x＋m＝0无实数根的必要条件是m∈{m|m>1} [解析]　在A中，由Δ＝(m－3)2－4m≥0得m≤1或m≥9，故A错误；在B中，当x＝0时，函数y＝x2＋(m－3)x＋m的值为m，由二次函数的图象知，方程有一正一负根的充要条件是m∈{m|m<0}，故B正确；在C中，由题意得解得0<m≤1，故C正确；在D中，由Δ＝(m－3)2－4m<0得1<m<9，又{m|1<m<9}⊆{m|m>1}，故D正确．故选BCD. 二、填空题 11．若不等式x2－ax－a≤－3的解集为空集，则实数a的取值范围是 {a|－6<a<2}　. [解析]　不等式x2－ax－a≤－3可化为x2－ax－a＋3≤0，由不等式x2－ax－a≤－3的解集为空集，得Δ＝(－a)2－4(－a＋3)<0， 即a2＋4a－12<0，解得－6<a<2，则实数a的取值范围是{a|－6<a<2}． 12．若关于x的不等式>0的解集为{x|x<－1或x>4}，则实数a＝ 4　. [解析]　不等式>0等价于(x－a)(x＋1)>0， 因为不等式>0的解集为{x|x<－1或x>4}，所以a＝4. 13．某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售就可能减少2 000本，要使提价后的销售总收入不低于20万元，则定价的最大值为_4__. [解析]　设定价为x元，销售总收入为y元，则由题意得y＝x， 整理得y＝－20 000x2＋130 000x，因为要使提价后的销售总收入不低于20万元，所以y＝－20 000x2＋130 000x≥200 000，解得≤x≤4，所以要使提价后的销售总收入不低于20万元，则定价的最大值为4. 14．关于x的方程x2－(k＋1)x＋2k－1＝0的根一个大于4，另一个小于4，则实数k的取值范围是 　. [解析]　令y＝x2－(k＋1)x＋2k－1，则当x＝4时，y<0，即42－4(k＋1)＋2k－1<0，整理有2k－11>0，解得k>. 15．若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈成立，则a的最小值为 －　. [解析]　∵x2＋ax＋1≥0对一切 x∈成立， ∴a≥－在x∈上恒成立． 令g(x)＝－，则g(x)在上为增函数． ∴g(x)max＝g＝－.∴a≥－. ∴a的最小值为－. 三、解答题 16．关于x的不等式E：ax2＋ax－2≤0，其中a∈R. (1)当a＝1时，求不等式E的解集； (2)若不等式E在R上恒成立，求实数a的取值范围． [解析]　(1)当a＝1时，不等式E：ax2＋ax－2≤0可化为x2＋x－2≤0， 即(x＋2)(x－1)≤0，方程(x＋2)(x－1)＝0的两根为x1＝－2，x2＝1， 则不等式x2＋x－2≤0的解集是{x|－2≤x≤1}， ∴当a＝1时，不等式E的解集为{x|－2≤x≤1}． (2)当a＝0时，不等式E化为0·x2＋0·x－2≤0，对x∈R恒成立，即a＝0满足题意． 当a≠0时，由题意得 ⇒解得－8≤a<0. 综上可知，a的取值范围为{a|－8≤a≤0}． 17．汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速为40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m．已知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2. 问：甲、乙两车有无超速现象？ [解析]　由题意知，对于甲车，有0.1x＋0.01x2>12，即x2＋10x－1 200>0，解得x>30或x<－40(不符合实际意义，舍去)，这表明甲车的车速超过30 km/h. 但根据题意知刹车距离略超过12 m，由此估计甲车的车速不会超过限速40 km/h. 对于乙车，有0.05x＋0.005x2>10，即x2＋10x－2 000>0，解得x>40或x<－50(不符合实际意义，舍去)，这表明乙车的车速超过40 km/h，即超过规定限速． 18．如图，有一长AM＝30米，宽AN＝20米的矩形地块，物业计划将其中的矩形ABCD建为仓库，要求顶点C在地块的对角线MN上，B，D分别在边AM，AN上，其他地方建停车场和路，设AB＝x米． (1)求矩形ABCD的面积S关于x的函数解析式； (2)若要求仓库占地面积不小于144平方米，求x的取值范围． [解析]　(1)由题意知，△NDC∽△NAM，则＝ ，即＝，解得AD＝20－x. 所以矩形ABCD的面积S关于x的函数解析式为S＝20x－x2(0<x<30)． (2)由题意得20x－x2≥144，即x2－30x＋216≤0，解得12≤x≤18.故x的取值范围是{x|12≤x≤18}． 学科网（北京）股份有限公司 $$