第一章 §4 4.1 一元二次函数（课时作业）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学必修第一册同步导学案（北师大版）

[A基础练] 1．抛物线y＝x2－2x＋m2＋2(m是常数)的顶点在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：∵y＝x2－2x＋m2＋2＝(x－1)2＋m2＋1， ∴顶点坐标为(1，m2＋1)．∵1>0，m2＋1>0，∴顶点在第一象限． 答案：A 2．(多选题)函数y＝x2－2x－3，当a≤x≤b时，有－4≤y≤5，则实数对(a，b)的可能值为(　　) A．(－2,4) B．(－2,1) C．(1,4) D．(－1,1) 解析：由图象(图略)可知：当－2≤x≤4或－2≤x≤1或1≤x≤4时，满足－4≤y≤5，当－1≤x≤1时，－4≤y≤0. 答案：ABC 3．已知二次函数y＝x2＋bx－2的图象与x轴的一个交点为(1,0)，则它与x轴的另一个交点坐标是(　　) A．(1,0) B．(2,0) C．(－2,0) D．(－1,0) 解析：把x＝1，y＝0代入y＝x2＋bx－2，得0＝1＋b－2， ∴b＝1，∴对称轴为直线x＝－＝－， 易知它与x轴的另一个交点坐标是(－2,0)． 答案：C 4．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部分对应值如下表： x －1 0 2 3 4 y 5 0 －4 －3 0 下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线x＝2；③当0<x<4时，y>0；④抛物线与x轴的两个交点间的距离是4；⑤若A(x1,2)，B(x2,3)是抛物线上两点，则x1<x2，其中正确的个数是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：将(－1,5)，(0,0)，(2，－4)代入y＝ax2＋bx＋c得y＝x2－4x，由a>0可知，抛物线的开口向上，故①正确；抛物线的对称轴为x＝－＝2，故②正确；∵抛物线与x轴的交点坐标为(0,0)，(4,0)，∴当0<x<4时，y<0，故③错误；抛物线与x轴的两个交点间的距离是4，故④正确；若A(x1,2)，B(x2,3)是抛物线上两点，则可能有x2<x1<2，故⑤错误． 答案：B 5．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，则下列说法：①abc>0；②2a＋b＝0；③a(x＋1)(x－3)＝0；④2c－3b＝0.其中正确的个数为(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 解析：①∵图象开口向下，∴a<0.又∵与y轴交于正半轴，∴c>0.∵对称轴在y轴右侧，∴－>0，∴b>0，abc<0，故①错误；②由题图知，x＝－＝，∴2a＋b＝0，故②正确；③由题图知，抛物线与x轴交于(－1,0)和(3,0)，∴a(x＋1)(x－3)＝0，故③正确；④由题图知，抛物线与x轴交于(－1,0)和(3,0)，∴a－b＋c＝0,9a＋3b＋c＝0，两式相加得，10a＋2b＋2c＝0，又b＝－2a，∴2c－3b＝0，故④正确． 答案：B 6．已知0＜x＜1，则y＝x(3－3x)的最大值为________． 解析：y＝x(3－3x)＝－32＋. ∵0＜x＜1， ∴当x＝时，y取最大值. 答案： 7．已知抛物线y＝3x2－4x＋c的顶点在x轴上方，则c满足的条件是________． 解析：抛物线y＝3x2－4x＋c的开口向上，其顶点的纵坐标为＝＝，因为抛物线的顶点在x轴上方，所以>0，解得c>. 答案：c> 8．已知关于x的一元二次方程mx2＋(1－5m)x－5＝0(m≠0)． (1)求证：无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根； (2)若抛物线y＝mx2＋(1－5m)x－5＝0(m为常数)与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点，且|x1－x2|＝6，求m的值； (3)若m>0，点P(a，b)与Q(a＋n，b)在(2)中的抛物线上(点P、Q不重合)，求代数式4a2－n2＋8n的值． 解析：(1)证明：Δ＝(1－5m)2－4m×(－5)＝1＋25m2－10m＋20m＝25m2＋10m＋1＝(5m＋1)2≥0， ∴无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根． (2)令mx2＋(1－5m)x－5＝0(m≠0)， 解得x1＝－，x2＝5， 由|x1－x2|＝6，得＝6，解得m＝1或m＝－. (3)由(2)得，当m>0时，m＝1， 此时抛物线解析式为y＝x2－4x－5，对称轴为直线x＝2， 由题意知，点P，Q关于直线x＝2对称， ∴＝2，即2a＝4－n， ∴4a2－n2＋8n＝(4－n)2－n2＋8n＝16. [B能力练] 9．若二次函数y＝x2－2x＋2在自变量x满足m≤x≤m＋1时的最小值为6，则m的值为(　　) A.，－，1＋，1－ B．－，＋1 C．1 D．－，1－ 解析：∵y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，当m>1时，可知当自变量x满足m≤x≤m＋1时，y随x的增大而增大， ∴当x＝m