第一章 §3 3.2 第2课时 基本不等式的应用（课时作业）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学必修第一册同步导学案（北师大版）

[A基础练] 1．若0<x<，则函数y＝x的最大值为(　　) A．1　　　 B. C. D. 解析：因为0<x<，所以1－4x2>0， 所以x＝×2x≤×＝，当且仅当2x＝，即x＝时等号成立，故选C. 答案：C 2．(多选题)下列结论中正确的有(　　) A．若a，b为正实数，a≠b，则a3＋b3>a2b＋ab2 B．若a，b，m为正实数，a<b，则< C．若>，则a>b D．当x>0时，x＋的最小值为2 解析：对于A，∵a，b为正实数，a≠b，∴a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a－b)2(a＋b)>0，∴a3＋b3>a2b＋ab2正确；对于B，若a，b，m为正实数，a<b，则－＝>0，则>，故B错误； 对于C，若>，则a>b，故C正确； 对于D，当x>0时，x＋的最小值为2，当且仅当x＝时取等号成立，故D正确．故选ACD. 答案：ACD 3．(多选题)已知a>0，b>0，a＋b＝2，则对于＋(　　) A．取得最值时a＝ B．最大值是5 C．取得最值时b＝ D．最小值是 解析：因为a＋b＝2，所以＋＝＋＝＋＋＋2≥＋2＝，当且仅当＝且a＋b＝2，即a＝，b＝时，等号成立． 答案：AD 4．若a＞0，b＞0，a＋3b＝1，则＋的最小值为(　　) A．2 B．2 C．4 D．3 解析：因为a＞0，b＞0，a＋3b＝1，所以＋＝(a＋3b)＝2＋＋≥2＋2＝2＋2＝4，当且仅当a＝3b时等号成立，所以＋的最小值为4. 答案：C 5．若a，b∈R，a＞0，b＞0，且a＋b＝1，则＋的最大值为________． 解析：(＋)2＝a＋1＋b＋1＋2≤3＋(a＋1)＋(b＋1)＝6. 当且仅当a＋1＝b＋1，且a＋b＝1，即a＝b＝时，取等号． 故(＋)max＝. 答案： 6．用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为________m，宽为________m时菜园面积最大． 解析：设矩形的长为x m，宽为y m，则x＋2y＝30，所以S＝xy＝x·(2y)≤2＝，当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝时取等号． 答案：15　 7．某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是________． 解析：设每次购买该种货物x吨，则需要购买次，则一年的总运费为×2＝(万元)，一年的总存储费用为x万元，所以一年的总运费与总存储费用为＋x≥2＝40(万元)，当且仅当＝x，即x＝20时等号成立，故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购买该种货物20吨． 答案：20 8．若实数a，b满足a＋b＝ab－3，求a＋b的取值范围． 解析：∵ab≤， ∴ab＝a＋b＋3≤， 即(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0. ∴[(a＋b)－6][(a＋b)＋2]≥0， 解得a＋b≥6或a＋b≤－2. 故a＋b的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)． [B能力练] 9．已知A(－1，－2)，点A在直线mx＋ny＝－2(m>0，n>0)上，则＋的最小值为(　　) A．3 B．2 C. D. 解析：因为点A(－1，－2)在直线mx＋ny＝－2(m>0，n>0)上，所以－m－2n＝－2，即＋n＝1， 所以＋＝＝＋＋≥＋2 ＝，当且仅当＝即m＝n时取等号．故选C. 答案：C 10．若不等式2x＜＋对任意a＞0，b＞0恒成立，则实数x的取值范围是________． 解析：不等式2x＜＋对任意a＞0，b＞0恒成立，等价于不等式2x＜min，因为对任意a＞0，b＞0，＋≥2＝8，所以2x＜8，解得x＜4. 答案：(－∞，4) 11．已知正实数a，b满足a＋2b＝1，则的最小值为________． 解析：因为＝2＋＋＋＝2＋＝2＋，又1＝a＋2b≥2，所以ab≤，即2＋≥2＋2×8＝18，当且仅当a＝2b，即a＝，b＝时取等号． 答案：18 12.如图有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分)，上下空白各宽2 dm，左右空白各宽1 dm，求四周空白部分面积的最小值． 解析：设阴影部分的高为x dm， 则宽为 dm，四周空白部分的面积是y dm2. 由题意，得y＝(x＋4)－72＝8＋2≥8＋2×2 ＝56(dm2)． 当且仅当x＝，即x＝12 dm时等号成立． 13．某种商品原来每件售价为25元，年销售量为8万件．为了扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高每件售价到x元．公司拟投入(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量