第一章 §3 3.2 第1课时 基本不等式（课时作业）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学必修第一册同步导学案（北师大版）

[A基础练] 1．不等式x－2y＋≥2成立的前提条件为(　　) A．x≥2y B．x＞2y C．x≤2y D．x＜2y 解析：因为基本不等式成立的前提条件是各项均为正，所以x－2y＞0，即x＞2y. 答案：B 2．(多选题)设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有(　　) A．ab>1 B．ab<1 C.<1 D.>1 解析：因为ab≤2，a≠b，所以ab<1，又1＝＝<， 所以ab<1<. 答案：BD 3．已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，则x，y的大小关系是(　　) A．x＞y B．y＞x C．x＞y D．y＞x 解析：由题意知a＞0，b＞0，且a≠b，所以y2＝()2＝a＋b＝＞＝＝x2，即y2＞x2，又因为x＞0，y＞0，所以y＞x. 答案：B 4．若a>0，b>0且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是(　　) A.> B.＋≤1 C.≥2 D.≤ 解析：∵a>0，b>0，a＋b＝4， ∴≤＝2， ∴ab≤4，∴≥， ∴＋＝＝≥1，故A，B，C均错，选D. 答案：D 5．若0<a<1,0<b<1，且a≠b，则a＋b,2，2ab，a2＋b2中最大的是(　　) A．a2＋b2 B．2 C．2ab D．a＋b 解析：法一：∵0<a<1,0<b<1，且a≠b，∴a2＋b2>2ab，a＋b>2，a>a2，b>b2，∴a＋b>a2＋b2，故选D. 法二：取a＝，b＝，则a2＋b2＝，2＝，2ab＝，a＋b＝，显然最大．故选D. 答案：D 6．当x>1时，不等式x＋≥a恒成立，求实数a的最大值． 解析：x－1＋＋1≥3，∴a≤3. 即实数a的最大值为3. 7．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，求这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系． 解析：第三年的产量分别表示为：A(1＋a)(1＋b)，A(1＋x)2， 则有(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)． ∴1＋x＝≤＝1＋， ∴x≤，当且仅当a＝b时等号成立． [B能力练] 8．当a，b为两个不相等的正实数时，下列各式中最小的是(　　) A. B. C. D. 解析：∵a>0，b>0，a≠b，∴>， ∵a2＋b2>2ab，∴ >， ∴选项A，B，C中，最小． 又a＋b>2>0，∴<1， 由于>0，两边同乘， 得·<， ∴<，∴最小． 答案：D 9．如果正数a，b，c，d满足a＋b＝cd＝4，那么(　　) A．ab≤c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值唯一 B．ab≥c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值唯一 C．ab≤c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值不唯一 D．ab≥c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值不唯一 解析：因为正数a，b，c，d满足a＋b＝cd＝4，所以4＝a＋b≥2，即ab≤4，当且仅当a＝b＝2时，等号成立．又因为4＝cd≤2，所以c＋d≥4，当且仅当c＝d＝2时，等号成立．综上所述，ab≤c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值都为2. 答案：A 10．已知a>b>c，比较与的大小关系． 解析：∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0， ∴≤＝， 当且仅当a＋c＝2b时，等号成立． 11．已知a，b是正数，求证：≤. 证明：∵a>0，b>0， ∴＋≥2 >0， ∴≤＝，即≤(当且仅当a＝b时取“＝”)． $