第一章 §2 2.2 第2课时 全称量词命题与存在量词命题的否定（课时作业）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学必修第一册同步导学案（北师大版）

[A基础练] 1．∃m，n∈Z，使得m2＝n2＋2 021的否定是(　　) A．∀m，n∈Z，使得m2＝n2＋2 021 B．∃m，n∈Z，使得m2≠n2＋2 021 C．∀m，n∈Z，使得m2≠n2＋2 021 D．以上都不对 答案：C 2．“矩形都是平行四边形”的否定的说法错误的是(　　) A．并非所有的矩形都是平行四边形 B．存在一个矩形不是平行四边形 C．有些矩形不是平行四边形 D．某些矩形是平行四边形 答案：D 3．命题“∀x≥0，x3＋x≥0”的否定是(　　) A．∀x＜0，x3＋x＜0 B．∀x＜0，x3＋x≥0 C．∃x≥0，x3＋x＜0 D．∃x≥0，x3＋x≥0 解析：全称量词命题“∀x≥0，x3＋x≥0”的否定是存在量词命题“∃x≥0，x3＋x＜0”． 答案：C 4．命题“∃x∈R，f(x)<0”的否定是(　　) A．∃x∈R，f(x)≥0 B．∀x∉R，f(x)≥0 C．∀x∈R，f(x)≥0 D．∀x∈R，f(x)<0 答案：C 5．(多选题)下列四个命题的否定为真命题的是(　　) A．p：所有四边形的内角和都是360° B．q：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0 C．r：∃x∈{x|x是无理数}，x2是无理数 D．s：对所有实数a，都有|a|>0 解析：A.p的否定为：有的四边形的内角和不是360°，是假命题． B．q的否定为：∀x∈R，x2＋2x＋2>0，真命题，这是由于∀x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1>0恒成立． C．r的否定为：∀x∈{x|x是无理数}，x2不是无理数，假命题． D．s的否定为：存在实数a，使|a|≤0，真命题． 答案：BD 6．写出命题“∀x∈R，都有＞0”的否定：________. 解析：“∀x∈R，都有＞0”的否定：“∃x∈R，使得＜0或2x＋4＝0”，即“∃x∈R，使得2x＋4≤0”． 答案：∃x∈R，使得2x＋4≤0 7．命题“存在实数x，y，使得x＋y>1”，用符号表示为______________，此命题的否定是______________，是________命题(填“真”或“假”)． 解析：此命题用符号表示为∃x，y∈R，x＋y>1，此命题的否定是∀x，y∈R，x＋y≤1，原命题为真命题，所以它的否定为假命题． 答案：∃x，y∈R，x＋y>1　∀x，y∈R，x＋y≤1　假 8．写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)任何有理数都是实数； (2)存在一个实数a，能使a2＋1＝0成立． 解析：(1)该命题的否定：至少有一个有理数不是实数．因为原命题是真命题，所以其否定是假命题． (2)该命题的否定：任意一个实数a，不能使a2＋1＝0成立，因为a2＝－1在实数范围内不成立，所以原命题是假命题，所以其否定是真命题． [B能力练] 9．已知存在量词命题p：∃x∈R,2x＋1≤0，则命题p的否定是(　　) A．∃x∈R,2x＋1>0 B．∀x∈R,2x＋1>0 C．∃x∈R,2x＋1≥0 D．∀x∈R,2x＋1≥0 解析：存在量词命题的否定为全称量词命题，“≤”的否定为“>”． 答案：B 10．已知命题q：“三角形有且只有一个外接圆”，则q的否定为__________________． 答案：存在一个三角形有两个或两个以上的外接圆或没有外接圆 11．已知命题p：∃x>0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则a的取值范围是________． 解析：因为p为假命题，所以命题p的否定：∀x>0，x＋a－1≠0是真命题，所以x>0时，x≠1－a，所以1－a≤0，所以a≥1. 答案：[1，＋∞) 12．写出下列命题的否定． (1)p：每一个素数都是奇数； (2)p：与同一平面所成的角相等的两条直线平行． 解析：(1)由于全称量词“每一个”的否定为“存在一个”，因此，綈p：存在一个素数不是奇数． (2)命题p是全称量词命题，省略了全称量词“任意”，即“任意两条与同一平面所成的角相等的直线平行”，因此，綈p：存在两条与同一平面所成的角相等的直线不平行． 13．若命题“∀x∈[1,4]时，x2－4x－m≠0”是假命题，求m的取值范围． 解析：原命题⇔方程x2－4x－m＝0(1≤x≤4)有解，即方程x2－4x－m＝0在x∈[1,4]有根，所以m＝x2－4x在x∈[1,4]有根，所以m的范围为[－4,0]． $