第一章 §1 1.2 集合的基本关系（课时作业）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学必修第一册同步导学案（北师大版）

[A基础练] 1．(多选题)下列关系式正确的是(　　) A．{1}⊆{1,2} B．{0}⊆{1,2} C．{2}⊆{1,2} D．1∈{1,2} 解析：选项B中，集合{1,2}中没有元素0，则{0}⊆{1,2}错误． 答案：ACD 2．集合A＝{x∈R|x(x－1)(x－4)＝0}，则集合A的非空子集的个数为(　　) A．4 B．6 C．7 D．8 解析：由x(x－1)(x－4)＝0，得x＝0或x＝1或x＝4，所以A＝{0,1,4}．故集合A的非空子集的个数为23－1＝7. 答案：C 3．下列四个集合中，是空集的为(　　) A．{0} B．{x|x>8，且x<5} C．{x∈N|x2－1＝0} D．{x|x>4} 解析：选项A，C，D中都含有元素，而选项B中无元素，故选B. 答案：B 4．已知集合M＝，N＝，则集合M，N的关系是(　　) A．M⊆N B．MN C．N⊆M D．NM 解析：设n＝2m或2m＋1，m∈Z，则有N＝＝. 又因为M＝， 所以MN. 答案：B 5．(多选题)已知集合A＝{x|x2－9＝0}，则下列式子表示正确的有(　　) A．3∈A B．{3}∈A C．∅⊆A D．{3，－3}⊆A 解析：根据题意，集合A＝{x|x2－9＝0}＝{－3,3}，依次分析4个式子： 对于A,3∈A,3是集合A的元素，正确；对于B，{3}∈A，{3}是集合，有{3}⊆A，错误；对于C，∅⊆A，空集是任何集合的子集，正确；对于D，{3，－3}⊆A，任何集合都是其本身的子集，正确． 答案：ACD 6．已知集合A＝{－1,3，m}，B＝{3,4}，若B⊆A，则实数m＝________. 解析：∵B⊆A，B＝{3,4}，A＝{－1,3，m}， ∴m∈A，∴m＝4. 答案：4 7．已知A＝{x|x＜－1或x＞5}，B＝{x|a≤x＜a＋4}，若AB，则实数a的取值范围是________． 解析：因为A＝{x|x＜－1或x＞5}，B＝{x|a≤x＜a＋4}，AB，所以a＋4≤－1或a＞5， 解得a≤－5或a＞5. 答案：(－∞，－5]∪(5，＋∞) 8．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a}． (1)若A是B的真子集，求a的取值范围； (2)若B是A的子集，求a的取值范围； (3)若A＝B，求a的取值范围． 解析：(1)若A是B的真子集，即AB，故a>2. (2)若B是A的子集，即B⊆A，则a≤2. (3)若A＝B，则必有a＝2. [B能力练] 9．已知集合M＝{x|y2＝2x，y∈R}和集合P＝{(x，y)|y2＝2x，y∈R}，则两个集合间的关系是(　　) A．MP B．PM C．M＝P D．M，P互不包含 解析：由于集合M为数集，集合P为点集，因此M与P互不包含，故选D. 答案：D 10．若{1,2,3}A⊆{1,2,3,4,5}，则满足条件的集合A的个数为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：集合{1,2,3}是集合A的真子集，同时集合A又是集合{1,2,3,4,5}的子集，所以集合A只能取集合{1,2,3,4}，{1,2,3,5}和{1,2,3,4,5}． 答案：B 11．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝________. 解析：根据题意，集合{1，a＋b，a}＝，a为分母不能是0，所以a≠0，所以a＋b＝0，即a＝－b， 所以＝－1，b＝1，故a＝－1，b＝1，则b－a＝2. 答案：2 12．设A是非空集合，对于k∈A，如果∈A，那么称集合A为“和谐集”，在集合M＝的所有非空子集中，是“和谐集”的集合的个数为________． 解析：由“和谐集”的定义知，该集合中可以含有元素－1,1，和3，和2，所以是“和谐集”的集合的个数为15. 答案：15 13．已知集合P＝{x∈R|x2＋b＝0}，Q＝{x∈R|(x＋1)·(x2＋3x－4)＝0}． (1)若b＝4，存在集合M使得PMQ，求这样的集合M； (2)若集合P是集合Q的一个子集，求b的取值范围． 解析：(1)当b＝4时，方程x2＋4＝0无实根， 所以P＝∅，又Q＝{x∈R|(x＋1)(x2＋3x－4)＝0}＝{－4，－1,1}，所以PQ. 由已知，得M应是一个非空集合，且是Q的一个真子集，用列举法可得这样的集合M共有6个，分别是{－4}，{－1}，{1}，{－4，－1}，{－4,1}，{－1,1}． (2)当P＝∅时，P是Q的一个子集，此时b＞0. 当P≠∅时，因为Q＝{－4，－1,1}， 若P⊆Q，则b＝－1. 综上，满足条件的b的取值范围是(0，＋∞)∪{－1}． $