知识点10 函数的单调性与奇偶性-2021-2022学年高一数学同步精品课堂讲+例+测（苏教版2019必修第一册）

2021-2022学年高一数学同步精品课堂讲、例、测（苏教版2019必修第一册） 知识点10函数的单调性与奇偶性 讲 教材知识梳理 函数的单调性 函数的单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数或减函数，那么称函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，增区间和减区间统称为单调区间． 由函数单调性求参数范围的处理方法 (1)由函数解析式求参数 若为二次函数——判断开口方向与对称轴——利用单调性确定参数满足的条件． 若为一次函数——由一次项系数的正负决定单调性． 若为复合函数y＝|f(x)|或y＝f(|x|)——数形结合，探求参数满足的条件． (2)当函数f(x)的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f ”去掉，列出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域． 求函数最值的常用方法 1．图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值． 2．运用已学函数的值域． 3．运用函数的单调性： (1)若y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数，则ymax＝f(b)， 　ymin＝f(a)． (2)若y＝f(x)在区间[a，b]上是减函数，则ymax＝f(a)， 　ymin＝f(b)． 分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个． 利用函数的单调性求最值的关注点 (1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a)． (2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上是减函数，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b)． (3)若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值． (4)如果函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势． 特别提醒　 (1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． (2)单调区间I⊆定义域A. (3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大． 函数的奇偶性 理解函数的奇偶性应关注三点 (1)函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对其定义域内的每一个x，都有f(－x)＝－f(x)[或f(－x)＝f(x)]，才能说f(x)是奇(偶)函数． (2)若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0. (3)若f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即f(x)＝0，x∈D，D是关于原点对称的实数集． 利用奇偶性求值的常见类型 (1)求参数值：若解析式含参数，则根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数． (2)求函数值：利用f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值． 利用函数奇偶性与单调性解不等式，一般有两类 (1)利用图象解不等式． (2)转化为简单不等式求解． ①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的形式； ②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，去掉不等式中的“f ”转化为简单不等式(组)求解． 提醒：列不等式(组)时不要忘掉函数定义域． 例 例题研究 一、求函数的单调区间 题型探究 例题1 函数的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的定义域，然后利用复合函数法可求出函数的单调递增区间. 【详解】 解不等式，解得或，函数的定义域为. 内层函数在区间上为减函数，在区间上为增函数， 外层函数在上为减函数， 由复合函数同增异减法可知，函数的单调递增区间为. 故选：C. 【点睛】考查对数型复合函数单调区间的求解，解题时应先求出函数的定义域，考查计算能力，属于中等题. 例题2 函数的图象如图所示，则函数的单调减区间是（ ） A． B． C． D．和 【答案】B 【分析】欲求函数的单调减区间，设，即求使函数为增函数的相应的的取值范围，根据复合函数单调性的定义和函数图像，即可求出结果． 【详解】 设． 则原函数是函数： 的复合函数， 因在上是减函数，根据复合函数的单调性，可知函数的单调减区间是函数的单调增区间，根据图象可知，， ∴． 故选：B． 【点睛】考查复合函数的单调性，对数函数的单调性，以及考生的数形结合能力，熟练掌握复合函数的单调性的判断