知识点09 函数的表示方法-2021-2022学年高一数学同步精品课堂讲+例+测（苏教版2019必修第一册）

2021-2022学年高一数学同步精品课堂讲、例、测（苏教版2019必修第一册） 知识点9函数的表示方法 讲 教材知识梳理 函数的表示法-------理解函数表示法的三个关注点 (1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论是哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念． (2)列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数． (3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主． 函数三种表示法的优缺点比较： 思考:任何一个函数都可以用解析法、列表法、图象法三种形式表示吗？ 答案:不一定．并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图象法也不适用于所有函数，如D(x)＝列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段． 求函数解析式的四种常用方法 (1)换元法：设t＝g(x)，解出x，代入f(g(x))，求f(t)的解析式即可． (2)配凑法：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可． (3)待定系数法：若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可． (4)方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解． 提醒：应用换元法求函数解析式时，务必保证函数在换元前后的等价性． 分段函数图象的画法 (1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象． (2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏． 分段函数的实际应用 (1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画． (2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式． 例 例题研究 一、求函数的解析式 题型探究 例题1 已知函数的定义域为，且对任意均满足：，则函数的解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用构造方程组的方法，解出的解析式． 【详解】 由，可得 ① 又②， 得：，解得 故选：A 【点睛】考查函数解析式的求法，考查学生计算能力，属于基础题． 例题2 如图中的图象所表示的函数的解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分段求解：分别把0≤x≤1及1≤x≤2时的解析式求出即可． 【详解】 当0≤x≤1时，设f（x）=kx，由图象过点（1，），得k=，所以此时f（x）=x； 当1≤x≤2时，设f（x）=mx+n，由图象过点（1，），（2，0），得，解得 所以此时f（x）=．函数表达式可转化为：y＝ |x－1|(0≤x≤2) 故答案为B 【点睛】考查函数解析式的求解问题，本题根据图象可知该函数为分段函数，分两段用待定系数法求得． 跟踪训练 训练1 已知是一次函数，且，则的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，（），利用两边恒等求出即可得结果． 【详解】 设，（） ∴， 即， 所以，解得，， ∴，故选B． 【点睛】考查函数解析式的求法，属于中档题.求函数的解析式常见题型有以下几种：（1）根据实际应用求函数解析式；（2）换元法求函数解析式，利用换元法一定要注意，换元后参数的范围；（3）待定系数法求函数解析式，这种方法适合求已知函数名称的函数解析式；（4）消元法求函数解析式，这种方法求适合自变量互为倒数或相反数的函数解析式. 训练2 设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题设条件可得当时，，其中，结合函数在上的解析式和函数在的图象可求的取值范围. 【详解】 当时，，故， 因为， 故当时，，， 同理，当时，， 依次类推，可得当时，，其中. 所以当时，必有. 如图所示，因为当时，的取值范围为， 故若对任意，都有，则， 令，或， 结合函数的图象可得， 故选：D. 【点睛】思路点睛：此类问题考虑函数的“类周期性”，注意根据已知区间上函数的性质推证函数在其他区间上的性质，必要时应根据性质绘制函数的图象，借助形来寻找临界点. 二、分段函数的实际应用 题型探究 例题1 已知，则函数的图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先画函数的图象，再根据函数的图象与的图象关于轴对称，即可选出正确选项. 【详解】 先画函数的图