§3 3．2 第1课时 基本不等式-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学必修第一册同步导学案（北师大版）课件PPT

北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 3．2　基本不等式 第1课时　基本不等式 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 课标要求 素养达成 1.掌握基本不等式，明确基本不等式成立的条件． 2．了解基本不等式的证明过程． 3．会用基本不等式证明一些简单的不等式． 4．能用基本不等式比较代数式的大小. 通过对基本不等式的学习，提升学生的逻辑推理素养. 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 必备知识 自主探究 关键能力 互动探究 课时作业 巩固提升 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 [教材提炼] 知识点　重要不等式与基本不等式 预习教材，思考问题 (1)基本不等式中的a，b只能是具体的某个数吗？ 提示：也可以是代数式． 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 (2)基本不等式成立的条件“a≥0，b≥0”能省略吗？请举例说明． (3)若a≠b，基本不等式会怎样？ 提示：不能，如≥是不成立的． 提示：若a≠b，≤(a≥0，b≥0)中的等号不成立．　　　 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 知识梳理　 其中， 称为a，b的算术平均值， 称为a，b的几何平均值． 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 题型一　对基本不等式的理解 [典例]　给出下列推导过程： ①∵a，b为正实数，∴＋≥2 ＝2； ②∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2 ＝4； ③∵x，y∈R，xy<0，∴＋＝－≤－2 ＝－2. 其中正确的推导为(　　) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 [答案]　B [解析]　①∵a，b为正实数，∴，为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导正确． ②∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件， ∴＋a≥2 ＝4是错误的． ③由xy<0，得，均为负数，但在推导过程中将整体＋提出负号后，，均变为正数，符合均值不等式的条件，故③正确． 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 在基本不等式应用过程中要注意“一正、二定、三相等”． 一正，a，b均为正数； 二定，不等式一边为定值； 三相等，不等式中的等号能取到，即a＝b有解． 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 [跟踪训练] 1．“ab＜”是“a＞b＞0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 答案：B 解析：ab＜⇒a≠b，a，b∈R a＞b＞0，充分性不成立，由a＞b＞0⇒＞ab，必要性成立． 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 2．给出下列命题： (1)若x∈R，则x＋≥2； (2)若a<0，b<0，则ab＋≥2； (3)不等式＋≥2成立的充要条件是x>0且y>0.其中正确命题的序号是________． 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 答案：(2) 解析：只有当x>0时，才能由均值不等式得到x＋≥2 ＝2，故(1)错；当a<0，b<0时，ab>0，由均值不等式可得ab＋≥2 ＝2，故(2)正确；由均值不等式可知，当>0，>0时，有＋≥2 ＝2成立，这时只需x与y同号即可，故(3)错误． 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 题型二　利用均值不等式比较大小 [典例]　设0<a<b，比较a，b，，的大小，并说明理由． [解析]　取a＝2，b＝8，则＝4，＝5， 所以a<<<b. 证明如下：∵()2－a2＝a(b－a)，又b>a>0， ∴()2>a2，即>a. 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 ∵b>a>0，∴>. 又b>a>0，∴2b>a＋b，即b>， 即当0<a<b时，a<<<b. 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 利用基本不等式比较实数大小的注意事项 (1)利用基本不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积)． (2)利用基本不等式时，一定要注意条件是否满足a>0，b>0. 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 [跟踪训练] 1．已知a，b∈(0，＋∞)，则下列各式中不一定成立的是(　　) A．a＋b≥2 B.＋≥2 C.≥2 D.≥ 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 答案：D 解析：由≥得a＋b≥2，∴A成立； ∵＋≥2＝2，∴B成立； ∵≥＝2，∴C成立； ∵≤＝， ∴D不一定成立． 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 答案：D 2．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中恒成立的是(　　) A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2 C.＋> D.＋≥2 解析：∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A中不等式错误；当a<0，b<0时，明显B、C中不等式错误；∵ab>0，∴＋≥2＝2，当