§3 3．2 第2课时 基本不等式的应用-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学必修第一册同步导学案（北师大版）课件PPT

北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 第2课时　基本不等式的应用 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 课标要求 素养达成 1.进一步熟练掌握基本不等式，能够通过拼凑、变形等利用基本不等式求最值． 2．能够利用基本不等式解决实际问题． 3．能够利用基本不等式解决一些不等式的恒成立问题. 通过对不等式常见题型的练习，进一步提升学生的逻辑推理、数学建模素养. 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 必备知识 自主探究 关键能力 互动探究 课时作业 巩固提升 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 [教材提炼] 知识点　基本不等式与最值 预习教材，思考问题 (1)通过以上结论可以得出，利用基本不等式求最值要注意哪几个方面？ 提示：求最值时，要注意三个条件，即“一正”，“二定”，“三相等”． 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 (2)如何理解，“当且仅当a＝b时，等号成立”？ 提示：“a＝b”时，等号成立；等号成立时，“a＝b”． 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 x＝y 大 x＝y 小 知识梳理　已知x，y都是正数，则 (1)若x＋y＝s(s为定值)，则当且仅当 时，积xy取得最 值 . (2)若xy＝p(p为定值)，则当且仅当 时，和x＋y取得最 值 . 2 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 题型一　利用基本不等式求最值 角度1　直接利用基本不等式求最值 [典例1]　若实数a，b满足ab>0，则a2＋4b2＋的最小值为(　　) A．8　　 B．6 C．4 D．2 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 [答案]　C [解析]　实数a，b满足ab>0，则a2＋4b2＋≥4ab＋≥4，当且仅当a＝2b且ab＝时等号成立．故选C. 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 [答案]　A [典例2]　若x>0，y>0，则2x＋＋y＋的最小值是(　　) A．3 B．4 C．4 D．2 [解析]　2x＋＋y＋≥2 ＋2 ＝2＋＝3，当且仅当x＝，y＝时等号成立． 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 当a≥0，b≥0时， (1)当a＋b＝p(和为定值)，则当a＝b时，积ab有最大值，可以用基本不等式≤求得． (2)若ab＝s(积为定值)，则当a＝b时，和a＋b有最小值2，可以用基本不等式a＋b≥2求得． (3)不论哪种情况都要注意等号取得的条件． 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 [跟踪训练] 1．设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　) A．80 B．77 C．81 D．82 答案：C 解析：∵18＝x＋y≥2， ∴≤9，xy≤81，当且仅当x＝y＝9时等号成立． 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 答案：8 2．当x>1时，的最小值为________． 解析：当x>1时，x－1>0， ＝＝(x－1)＋＋2≥ 2 ＋2＝8， 当且仅当x－1＝，即x＝4时等号成立． 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 3．已知m>0，n>0且m＋n＝16，求mn的最大值． 解析：因为m>0，n>0且m＋n＝16，所以由基本不等式可得mn≤2＝2＝64，当且仅当m＝n＝8时，mn取到最大值64.所以mn的最大值为32. 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 [答案]　－12 角度2　间接利用基本不等式求最值 [典例1]　已知x<0，则3x＋的最大值为________． [解析]　∵x<0，∴－x>0， ∴(－3x)＋≥2＝12， ∴3x＋≤－12，当且仅当－3x＝－即x＝－2时等号成立． 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 [典例2]　求函数y＝x2(0＜x＜1)的最大值． [解析]　∵0＜x＜1，∴1－x4＞0， ∴y＝x2＝≤＝， 当且仅当x4＝1－x4，即x＝2－时，取“＝”号，此时ymax＝. 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略 拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题： (1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形． (2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标． (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 [跟踪训练] 1．已知x<，求函数y＝4x－1＋的最大值． 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 解析：因为x<，所以4x－5<0，故5－4x>0. y＝4x－1＋＝－＋4. 因为5－4x＋≥2 ＝2， 所以y≤－2＋4＝2，当且仅当5－4x＝，即x＝1或x＝(舍)时，等号成立，故当x＝