§4 4．3 一元二次不等式的应用-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学必修第一册同步导学案（北师大版）课件PPT

北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 4．3　一元二次不等式的应用 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 课标要求 素养达成 1.能够求解与一元二次不等式相关的不等式恒成立问题． 2．能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决. 通过对不等式常见问题的学习，进一步提升学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模素养. 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 必备知识 自主探究 关键能力 互动探究 课时作业 巩固提升 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 [教材提炼] 知识点一　一元二次不等式恒成立中的常用结论 预习教材，思考问题 对于二次函数y＝f(x)，x∈{x|m≤x≤n}，要使f(x)≤a恒成立，可转化为求f(x)的什么值？要使f(x)≥a恒成立呢？ 提示：f(x)≤a恒成立转化为f(x)max≤a，f(x)≥a⇔f(x)min≥a. 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 知识梳理　(1)在R上恒成立问题． ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立⇔ 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 (2)在给定区间上的恒成立问题． 结论1：若f(x)＝ax2＋bx＋c>0(a>0)在{x|m≤x≤n}上恒成立⇒Δ＝b2－4ac<0或或 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 Δ＝b2－4ac<0 f(n)>0 若在{x|x≤m}上恒成立⇒Δ＝b2－4ac<0 或 若在{x|x≥n}上恒成立⇒ 或 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 f(n)<0 结论2：f(x)＝ax2＋bx＋c<0(a>0)在{x|m≤x≤n}上恒成立⇒ 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 知识点二　一元二次不等式的实际应用 知识梳理　与一元二次不等式有关的实际应用问题，经常涉及物价、路程、产值、环保等最值问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是确立相应的函数解析式，然后应用函数、方程和不等式的有关知识加以综合解答．操作步骤如下： 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 (1)理解题意，搞清量与量之间的关系； (2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题； (3)解这个一元二次不等式，得到实际问题的解． 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 题型一　一元二次不等式的实际应用 [典例]　2019年，某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并且每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担.2020年初，某地方政府为响应中央一号文件精神，发展壮大乡村产业，拓宽农民增收渠道，为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x>0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点． 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 (1)写出降税后税收y(万元)与x的函数关系式； (2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围． 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 [解析]　(1)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，收购总金额为200a (1＋2x%)万元． 依题意得y＝200a(1＋2x%)(10－x)% ＝a(50＋x)(10－x) (0<x<10)． 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 (2)原计划税收为200a×10%＝20a(万元)． 依题意得a(50＋x)(10－x)≥20a×83.2%， 化简得x2＋40x－84≤0， 解得－42≤x≤2. 又因为0<x<10，所以0<x≤2. 故x的取值范围是(0,2]． 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 解不等式应用题的四个步骤 (1)审：认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系． (2)设：引进数学符号，用不等式表示不等关系． (3)求：解不等式． (4)答：回答实际问题． 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 [跟踪训练] 1．某县地处水乡，县政府原计划从今年起填湖围造一部分生产和生活用地，但根据前几年抗洪救灾得到的经验教训和环境保护、生态平衡的要求，准备重新研究修改计划，为了寻求合理的计划，需要研究以下问题． 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 (1)若按原计划填湖造地，湖面的减少必然导致蓄水能力的下降，为了保证防洪能力不会下降，除了填湖每平方千米b元费用外，还需要增加排水设备费用，且排水设备所需经费与当年所填湖造地面积x(单位：平方千米)的平方成正比，其比例系数为a，又知每平方千米地面的年平均收益为c元(其中a，b，c均为常数)，若按原计划填湖造地，且使得今年的收益不小于支出，试求