第一章 章末提升 预备知识-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学必修第一册同步导学案（北师大版）课件PPT

北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 　预备知识 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 知识网络 专题提能 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 专题一　集合的新定义 以集合的基本知识为基础，定义出新符号、新概念、新运算等． 解集合新定义问题的关键 (1)理解新定义． (2)运用新定义． (3)不要被新符号迷惑，同时要利用集合本身的知识． 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 [典例1]　设集合P，Q为两个非空实数集，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数为 (　　) A．9　 B．8 C．7 D．6 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 [解析]　∵P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}， ∴当a＝0时，a＋b的值为1,2,6； 当a＝2时，a＋b的值为3,4,8； 当a＝5时，a＋b的值为6,7,11， ∴P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}，故P＋Q中有8个元素． [答案]　B 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 [典例2]　(原创题)在R上定义运算“⊙”：a⊙b＝ab＋6a＋b，则满足x⊙(x－6)＜0的实数x的取值范围为(　　) A．{x|0＜x＜3} B．{x|－3＜x＜2} C．{x|x＜－3}∪{x|x＞2} D．{x|－2＜x＜3} 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 [解析]　根据给出的定义得x⊙(x－6)＝x(x－6)＋6x＋(x－6)＝x2＋x－6＝(x＋3)(x－2)，又x⊙(x－6)＜0，则(x＋3)(x－2)＜0，故不等式的解集是{x|－3＜x＜2}． [答案]　B 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 专题二　几何命题与充分条件、必要条件 对于一种几何图形或几何图形之间的关系，可以通过充要条件给出它的等价定义，通过充分条件给出它的判定定理，通过必要条件给出它的性质定理． 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 [典例]　设a，b，c分别是△ABC的三条边，且a≤b≤c，我们知道，如果△ABC为直角三角形，那么a2＋b2＝c2(勾股定理)，反过来，如果a2＋b2＝c2，那么△ABC为直角三角形(勾股定理的逆定理)，由此可知，△ABC为直角三角形的充要条件是a2＋b2＝c2. 请利用边长a，b，c给出△ABC为锐角三角形的一个充要条件，并证明． 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 [解析]　∵a≤b≤c，∴C≥B≥A， 故△ABC为锐角三角形的充要条件为a2＋b2>c2. 证明：如图，作⊙O，在⊙O内作直角三角形ACB′，使∠ACB′＝90°， 则AB′为直径，在B′下方的圆弧上取点B1， 则∠ACB1为锐角，AB1<AB′，CB1>CB′， ∴AC2＋CB>AB，反之也成立． 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 专题三　基本不等式的使用策略 “一正”就是各项必须为正数．“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，必须把构成积的因式的和转化成定值．“三相等”即检验等号成立的条件，判断等号能否取到，只有等号成立，才能利用基本不等式求最值．故注意构造正数、构造定值、构造等号． 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 [典例1]　已知x>0，求函数y＝的最小值． [解析]　y＝＝x＋＋5≥2＋5＝9. 当且仅当x＝即x＝2时等号成立． 故y＝(x>0)的最小值为9. 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 [典例2]　已知正数x，y满足x＋y＝1，求＋的最小值． [解析]　因为x＋y＝1，所以x＋(1＋y)＝2，则2＝[x＋(1＋y)]＝＋＋5≥2＋5＝9，所以＋≥，当且仅当＝，即x＝，y＝时，等号成立． 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 专题四　一元二次不等式恒成立问题的求解策略 (一)利用一元二次不等式的判别式 代数式ax2＋bx＋c>0的等价条件是 或 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 [典例1]　已知不等式>2对任意x∈R恒成立，求k的取值范围． 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上页 [解析]　∵x2＋x＋2＝2＋>0， ∴原不等式等价于kx2＋kx＋6>2x2＋2x＋4， 即(k－2)x2＋(k－2)x＋2>0. 当k＝2时，2>0，结论显然成立； 当k≠2时，k满足不等式组解得2<k<10. 综上所述，k的取值范围是[2,10)． 北师大数学必修第一册 返回导航 下页 上