专题06 立体几何之平行、垂直的性质与证明（重难点突破）-【教育机构专用】2021年暑期高一升高二数学辅导讲义（人教A版）

专题06 立体几何之平行、垂直的性质与证明 知识网络 重难点突破 重难点突破一 线线、线面与面面平行的性质 例1．（1）已知直线，和平面，，下列命题正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】C 【分析】 根据空间中线面的位置关系结合线面平行，面面平行的判定定理及性质定理来判断. 【详解】 选项A：若，，则可能在平面内，也可能与平面平行，选项A错误； 选项B：若，，则与可能平行也可能异面，选项B错误； 选项C：由面面平行的性质定理可知选项C正确； 选项D：若，，，则与可能平行也可能异面，选项D错误. 故选：C. （2）．已知l，m，n是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题一定正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，且满足，，则 C．若，，，且满足，则 D．若，，，且，，则 【答案】C 【分析】 根据空间线面、面面间的位置关系判断．其中C可由线面平行的判定定理的性质定理判断． 【详解】 因为A的直线n中可能在面内，故A错误； B，D中m，n可能平行，则结论不一定成立，故B、D错误； C中若，，则有，又，，从而有，，故C正确． 故选：C． 【变式训练1-1】．如图所示，在正方体中，点，，，分别为棱，，，上的中点，下列判断正确的是（ ） A．直线平面 B．直线面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】D 【分析】 根据平面的基本性质做出截面，如图所示，然后根据线面平行的定义否定AB,根据面面平行的定义否定C,利用面面平行的判定定理证得D. 【详解】 过点，，的截面如图所示(，，均为中点)， 所以直线与其相交于点， 故A项错误； 直线与直线在平面必定相交，故B项错误； 直线与直线相交， 故平面与平面不平行，C项错误； 易得直线直线，直线直线， 又∵,所以平面平面. 故选:D. 【变式训练1-2】．在四棱锥中，底面为平行四边形，是的中点，若在棱上存在一点，使得平面，则（ ） A．3 B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】 取的中点,则可证平面，当也为的中点时，即,也即时，平面，从而得到平面平面，从而得到答案. 【详解】 取的中点，连接,连接相交于点，连接 由为的中点，是的中点，所以 平面,平面,所以平面 当也为的中点时，即,也即时， 由为中点，则 由平面,平面,所以平面 又，所以平面平面 又平面，所以平面. 即在棱上存在一点，当时，平面. 故选：B 【变式训练1-3】．如图所示，在空间四边形中，，分别为边，上的点，且，又，分别为，的中点，则下列结论正确的是__________________（请填写正确命题的序号） ①平面；②平面； ③平面；④平面． 【答案】①②③ 【分析】 根据题意，，，进而根据线面平行的判定定理即可得答案. 【详解】 解：∵ 在中，， ∴， 又∵ 平面，平面，平面，平面 ∴ 平面；平面； ∵，分别为，的中点， ∴ ， 又∵平面，平面， ∴ 平面 ∴， ∴ 四边形是梯形， ∴与必相交， ∵平面， ∴与平面有公共点，即与平面不平行. 综上，正确的是：①②③ 故答案为：①②③ 重难点突破二 线线、线面与面面平行的证明 例2．（1）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，分别为，的中点.设平面与平面的交线为. （1）求证：平面； （2）求证：； （3）在棱上是否存在点（异于点），使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）不存在，理由见解析. 【分析】 （1）连接， 易知为的中点，进而得，再结合线面平行的判定定理即可证明； （2）由题知平面，进而根据线面平行的性质定理即可证明； （3））假设在棱上存在点（异于点），使得平面，进而在平面中，过点作的平行线，交于，故平面平面，进而得，另一方面，在平行四边形中，与不平行，矛盾，故不存在. 【详解】 解：（1）证明：连接，因为底面为平行四边形，为的中点， 所以为的中点，因为为的中点， 所以在中，， 因为平面，平面， 所以平面 （2）因为底面为平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面， 因为平面与平面的交线为，平面， 所以 （3）假设在棱上存在点（异于点），使得平面， 在平面中，过点作的平行线，交于， 因为平面，平面，所以平面， 因为，所以平面平面， 因为平面，所以平面， 又因为平面，平面平面，所以 另一方面，在平行四边形中，与不平行，矛盾， 所以在棱上不存在点（异于点），使得平面. （2）．如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点．求证： （1）平面； （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】 （1）连接BD与AC交于点O，连接OE，易得，再利用线面平行的判定定理证明； （2）利用等体积法由求解