专题06 立体几何之平行、垂直的性质与证明（分层训练）-【教育机构专用】2021年暑期高一升高二数学辅导讲义（人教A版）

专题06 立体几何之平行、垂直的性质与证明 A组 基础巩固 1．下列说法正确的个数是（ ） ①两平面平行，夹在两平面间的相等的线段平行； ②如果一条直线和两个平行平面中的一个平行，那么它和另一个平面也平行； ③平行直线被三个平行平面截得的线段对应成比例. A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】A 【分析】 夹在两平行平面间的线段相等，位置不能确定，可判定①；直线与平面平行，该直线必须在平面外，可判定②；根据面面平行的性质定理，可判定③. 【详解】 ①错误，这两条相等的线段可能平行相交或异面； ②错误，直线可能在另一个平面内； ③正确.，设 分别与交于， 因为确定平面， 且平面分别与平行平面交于， 所以，四边形为平行四边形， ，所以③正确.. 故选：A. 2．已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB，则下列命题中错误的是（ ） A．AE⊥平面PAB B．直线PD与平面ABC所成角为45° C．平面PBC与平面PEF的交线与直线AD不平行 D．直线CD与PB所成的角的余弦值为 【答案】C 【分析】 由线面垂直的判定定理可判断A正确；从图中可找到线面角为∠PDA进而可判断B正确；由线面平行的判定定理和性质定理可判断C错误；找到直线CD与PB所成的角并通过计算可判断D正确. 【详解】 对于A：∵PA⊥平面ABC，AE⊂平面ABC，∴AE⊥PA， ∵六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，∴AE⊥AB， ∵PA∩AB=A，PA，AB⊂平面PAB，∴PE⊥平面PAB.故A正确； 对于B：∵六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB， ∴ PA⊥AD，PA=AD，∴∠PDA=45°是直线PD与平面ABC所成角.故B正确； 对于C：∵BCEF，平面，平面，所以平面. 设平面PBC与平面PEF的交线为，则，又，所以，故C错误； 对于D：设AB=1，则PA=2，， ∵CDBE，∴∠PBE是是直线CD与PB所成的角(或所成角的补角)， ∴直线CD与PB所成的角的余弦值为.故D正确. 故选：C. 【点睛】 思路点睛：平移线段法是求两异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： ①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出两异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角（或补角）； ③计算：求该角的值，常利用解三角形； ④取舍：由于两异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两异面直线所成的角． 3．如图，在正方体中，､､分别为线段､､的中点，下述四个结论： ①直线､､共点； ②直线､为异面直线； ③四面体的体积为； ④线段上存在一点使得直线平面. 其中所有正确结论的序号为（ ） A．① B．①② C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】 利用三点共线判断①；利用异面直线判定定理判断②；利用锥体体积公式判断③；利用线面平行性质定理判断④. 【详解】 如图，①：延长至G使得，易知G、F、C和G、E、A均三点共线.故直线AE、CF、共点； ②：由①知直线AE、CF共面，记为平面，其中，且 ，由异面直线判定定理知直线AE、BK为异面直线； ③：四面体ABEF的体积即，而，点E到底面ABF的距离为点到平面的距离的一半，即， 故； ④：假设存在点N在线段AB上使得直线AE平面NFC，由线面平行性质定理知过AE的平面与平面NFC交于直线CF，应满足AECF，这与①中结论矛盾，即不存在满足题设的点N 故答案为：①② 【点睛】 (1)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点; (2)在判断空间两直线的位置关系时，在直接判断不好处理的情况下，反证法、模型法(如构造几何体：正方体、空间四边形等)和特例排除法等是解决此类问题的三种常用便捷方法; (3)在解答与线、面平行相关命题的判定时，特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情况，可通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确. 4．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】 题中是两条不同的直线，直线的位置关系由平行、相交、异面，直线与平面的位置关系由相交、平行、在平面内.两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面. 【详解】 A.直线也可能相交或者异面； B.若在平面内则不成立； C.直线也可能异面； D.因为 ，所以，且，故. 故选：D 【点睛】 要全面考虑直线间的位置关系，以及直线与平面的位置关系，可以借助桌面和笔来进行分析. 5．在棱长为的正方体中，､､分别为棱､､的中点，则以下