专题05 三视图与简单几何体的表面积与体积（重难点突破）-【教育机构专用】2021年暑期高一升高二数学辅导讲义（人教A版）

专题05 三视图与简单几何体的表面积与体积 知识网络 重难点突破 重难点突破一 简单几何体的三视图 例1．（1）（2021·浙江高二期末）某几何体的三视图（单位：）如图所示，则该几何体的体积（单位：）是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据三视图可知该几何体为一个圆柱挖去一个圆锥，由此可算出体积． 【详解】 解：根据三视图可知该几何体为一个圆柱挖去一个圆锥， ∴其体积为， 故答案为：． （2）．（2021·四川高二期末（理））下图为某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 将三棱锥补全为长方形，借助外接球半径等于长方体体对角线的一半即可得到答案． 【详解】 由三视图可知，该图为三棱锥，将其补全为长方形（其长宽高分别为2,2,3）如图， 由图，其外接球半径等于长方体体对角线的一半，即． 所以，外接球的表面积为． 故选：A． 【变式训练1-1】（2021·江西省万载中学高一期末（理））某四棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的4个侧面的面积中，最大的是（ ） A．16 B．12 C．8 D． 【答案】B 【分析】 首先把三视图和几何体的直观图之间进行转换，进一步利用几何体的表面积公式的应用求出结果． 【详解】 解：根据几何体的三视图转换为直观图如图所示： 求出：，，，，，，，， 在中， 利用余弦定理：， 故， ， ， ， 故最大侧面积为12． 故选：B. 【变式训练1-2】．（2021·江苏高一专题练习）如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ） A．如图是棱台 B．如图是圆台 C．如图是棱锥 D．如图不是棱柱 【答案】C 【分析】 利用棱台､圆台､棱锥､棱柱的定义对四个选项进行逐一分析判断即可. 【详解】 解：对于A，不是棱锥截得的，故不是棱台，故选项A错误； 对于B，上､下两个面不平行，故不是圆台，故选项B错误； 对于C，由棱锥的定义可知，是棱锥，故选项C正确； 对于D，前､后两个面平行，其他面试平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，故是棱柱，故选项D错误. 故选：C. 重难点突破二 柱体的表面积与体积 例2．（1）（2021·云南昆明市·昆明一中高二期末（理））一个体积为12的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的高为（ ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】 根据三视图易知底面边长为4，然后再由正三棱柱的体积为12求解. 【详解】 设正三棱柱的高为h， 由三视图知：底面边长为4， 又因为正三棱柱的体积为12， 所以， 解得， 故选：C （2）．（2021·天津滨海新区·高一期末）已知圆柱的侧面展开图是一个边长为的正方形，则这个圆柱的表面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据题意和题设条件，求得圆柱的底面半径和母线长，结合圆的面积公式和圆柱的侧面积公式，即可求解. 【详解】 设圆柱的底面半径为，母线长为， 因为侧面展开图是一个边长为的正方形， 所以，可得， 所以圆柱的表面积为. 故选：A. 【变式训练2-1】．（2021·江西省万载中学高一期末（理））图1中的机械设备叫做“转子发动机”，其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”，图2是一个曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，底面是“莱洛三角形”，莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，如图3.若曲侧面三棱柱的高为10，底面任意两顶点之间的距离为10，则其侧面积为（ ） A． B． C． D．600 【答案】A 【分析】 求出底面的周长后可求曲侧面三棱柱的侧面积. 【详解】 曲侧面三棱柱的底面的周长为， 曲侧面三棱柱的侧面积为， 故选：A. 【变式训练2-2】．（2021·云南丽江市·高二期末（理））某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】 把三视图还原实物图,是一个直棱柱，利用柱体体积公式计算即可. 【详解】 把三视图还原实物图如图所示，其底面是一个直角梯形，底面积为，高为2，所以体积为. 故选：C 重难点突破三 锥体的表面积与体积 例3．（1）（2021·云南昆明市·昆明一中高一期中）在三棱锥中，，，则该三棱锥的体积为___________. 【答案】 【分析】 分析可知三棱锥为正三棱锥，计算出该三棱锥的高和底面积，可求得该三棱锥的体积. 【详解】 因为，，故三棱锥为正三棱锥， 设点在底面的射影为点，则为正的中心，如下图所示： 由正弦定理可得，故，则， ，因此，. 故答案为：. （2）．（2021·乌鲁木齐市第四中学高一期末）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体