专题05 三视图与简单几何体的表面积与体积（分层训练）-【教育机构专用】2021年暑期高一升高二数学辅导讲义（人教A版）

专题05 三视图与简单几何体的表面积与体积 A组 基础巩固 1．（2021·福建省福州第一中学高一期末）若一圆台的上底面半径为1，且上､下底面半径和高的比为，则圆台的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 算出下底面半径和上下底面面积及圆台的高，根据圆台体积公式算出体积即可. 【详解】 由题意：上底面面积为，下底面半径为2，则下底面面积为，圆台高为， 所以圆台的体积. 故选：C. 2．（2021·全国高一课时练习）如图所示，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用正方体的性质、异面直线的定义即可判断出结论． 【详解】 解：A 中，，B中，，C中，与为异面直线，D中，与相交． 故选：C． 3．（2021·全国高一课时练习）如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是（ ） A．棱柱 B．棱台 C．棱柱与棱锥的组合体 D．不能确定 【答案】A 【分析】 根据棱柱的定义进行判断 【详解】 如图. ∵平面AA1D1D∥平面BB1C1C， ∴有水的部分始终有两个平面平行，而其余各面都易证是平行四边形(水面与两平行平面的交线)，因此呈棱柱形状. 故选：A 4．（2021·北京高二学业考试）如图，在长方体中，AB＝AD＝2，，则四棱锥的体积为（ ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】B 【分析】 根据长方体的特殊线面关系，结合棱锥体积公式求得结果. 【详解】 在长方体中，底面ABCD， 则四棱锥的体积为. 故选：B 5．（2021·全国高三其他模拟（理））已知某几何体的三视图如图所示，点A，B在正视图中的位置如图所示(A，B分别为正视图中等腰梯形的两个顶点)，则在此几何体的侧面上，从A到B的最短距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 作出三视图的直观图，并展开，根据三视图中的数据求得展开图中的边长，半径，圆心角等，从而求得AB的长. 【详解】 由三视图可知该几何体为下底面半径，上底面半径，高为的圆台，故其母线长为，其侧面展开图为以上、下底面周长为弧长，圆台母线长为半径的扇环，如图所示，将圆台补形为圆锥， 由相似三角形知，，即，解得， 即圆锥的母线为3，记扇形的圆心角为，则， 即，解得 由三视图可知，点B为展开图中圆弧的中点，在中， ，，，则， 故 故选：A 6．（2021·全国高三其他模拟）如图，已知一底面半径为1，体积为的圆锥内接于球O(其中球心O在圆锥内)，则球O的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 取底面圆心，即线段AB的中点O1，则有SOO1共线且垂直于底面，再根据勾股定理即可解得. 【详解】 如图所示， 设圆锥的底面圆心为，连接. 因为V圆锥=，所以，设球的半径为，则，解得，所以球的表面积 故选：A. 7．（2021·贵州高三期末（文））如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为16，当细沙全部在上面的圆锥内时，其高度为圆锥高度的（中间衔接的细管长度忽略不计）．当细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此沙堆的侧面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 首先求得细沙在上部容器时小圆锥的底面半径为4，进而求出小棱锥的体积，接着求出流入下部后的圆锥形沙堆的高，最后求出沙堆的侧面积. 【详解】 细沙在上部容器时的体积， 流入下部后的圆锥形沙堆底面半径为8，设高为， 则， 所以， 下部圆锥形沙堆的母线长， 故此沙堆的侧面积． 故选：D. 【点睛】 圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和． 8．（2021·辽宁高三其他模拟）如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现，我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为（ ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】 设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，分别求得圆柱和球的表面积，即可得答案. 【详解】 设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为． 圆柱的表面积， 球的表面积， 所以圆柱的表面积与球的表面积之比为. 故选：C 9．（2021·陕西高三其他模拟（理））卢浮宫金字塔位于巴黎卢浮宫的主院，由美籍华人建筑师贝聿铭设计，已成为巴黎的城市地标.金字塔为正四棱锥造型，该正四棱锥的底面边长为，高为，若该四棱锥的五个顶点都在一个球面上，则球心到四棱锥侧面的距离为（ ） A． B．