专题04 基本不等式与线性规划问题（重难点突破）-【教育机构专用】2021年暑期高一升高二数学辅导讲义（人教A版）

专题04 基本不等式与线性规划问题 知识网络 重难点突破 重难点题型突破一 简单的线性规划问题 例1．（1）（2021·全国高三零模（理））若实数，满足约束条件，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解． 【详解】 作出可行域，如图内部（含边界），作直线， 由得，其中是直线的纵截距， 当直线向下平移时，纵截距减小．值增大， 所以当过点时，取得最大值， 由，得，即， 所以． 故选：D． （2）．（2021·安徽高二月考（理））设x，y满足约束条件则的最小值为（ ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】 画出可行域，由，得，作出直线，向下平移过点时，取的最小值，求出点的坐标代入目标函数中可得答案 【详解】 解：x，y满足约束条件表示的可行域如图所示，由，得，作出直线，向下平移过点时，取的最小值， 由，解得，即， 所以的最小值为， 故选：B 【详解】 【变式训练1-1】.（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（理））若，满足约束条件，则的最小值为___________. 【答案】 【分析】 画出该不等式组表示的平面区域，平移直线，即可得出的最小值. 【详解】 该不等式组表示的平面区域如下图所示, 变形为, 由解得，即 平移直线，当直线过点时, , 故答案为： 重难点题型突破二 带有参数的线性规划问题 例2．（1）（2021·全国高三专题练习（文））已知满足，如果目标函数的取值范围为，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 由约束条件可得可行域，将目标函数转化为为与点连线的斜率，通过分析点的不同位置， 根据的范围可确定的范围. 【详解】 由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示： 表示与点连线的斜率，可知点只能在上移动， 当点位于右侧时，存在的情况，不合题意； 当点位于线段（不含端点）上时，存在的情况，不合题意； 当点与重合时，存在的情况，不合题意； 当点位于左侧时，，满足题意； 由得：，即，， 即实数的取值范围为 故选：B. 【点睛】 方法点睛：线性规划问题中几种常见形式有： ①截距型：，将问题转化为在轴截距的问题； ②斜率型：，将问题转化为与连线斜率的问题； ③两点间距离型：，将问题转化为与两点间距离的平方的问题； ④点到直线距离型：，将问题转化为到直线的距离的倍的问题. （2）．（2020·全国高三专题练习）在条件下，目标函数的最大值为40，则的最小值是 A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】 画出可行域和目标函数，根据平移得到最值点，再利用均值不等式得到答案. 【详解】 如图所示，画出可行域和目标函数，根据图像知： 当时，有最大值为，即，故. . 当，即时等号成立. 故选：. 【点睛】 本题考查了线性规划中根据最值求参数，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力. 【变式训练2-1】.（2021·四川高二期末（理））已知实数，满足，且的最大值为，则实数的值为_______． 【答案】 【分析】 作出可行域，根据目标函数的几何意义来求得参数值. 【详解】 作出可行域如图所示： 根据目标函数的最大值为4，知直线与直线的交点A点应在可行域内，则其坐标为，直线过A点， 代入得，解得 故答案为：2 【变式训练2-2】.（2021·正阳县高级中学高三其他模拟（理））已知，表示的平面区域为三角形，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【分析】 先作出表示的平面区域，再结合题意数形结合求解即可. 【详解】 根据题意，先作出表示的平面区域，如图的阴影部分所示， 由，可得， 要使不等式组表示的平面区域为三角形，只需， 所以的取值范围为. 故答案为： 重难点题型突破三 基本不等式的应用 例3．（1）（2021·北京高一其他模拟）若，则函数的最小值为______． 【答案】5 【分析】 根据题意，直接利用基本不等式求出函数的最小值即可. 【详解】 解：因为， 则函数，当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值5． 故答案为：5. （2）．（2021·云南丽江市·高一期末）若，则的最小值是___________. 【答案】 【分析】 由，结合基本不等式即可. 【详解】 因为，所以， 所以， 当且仅当即时，取等号成立. 故的最小值为， 故答案为： （3）．（2021·安徽高二期中（文））已知，，且，则的最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】C 【分析】 由题设，有，结合基本不等式即可最小值. 【详解】 ∵， ∴，当且仅当，即时取等号． ∴的最小值为4． 故选：C． 【变式训练3-1】.．（2021·赣州市赣县第三中学高一期末（理））下列函数中最小值为4的是（