专题03 数列的综合应用与数列求和（重难点突破）-【教育机构专用】2021年暑期高一升高二数学辅导讲义（人教A版）

专题03 数列的综合应用与数列求和 【重难点知识点网络】： 一、等差数列 1、数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。 ①等差数列定义：定义法或。 ②分类：若公差，则递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。 2、等差数列的判断方法：定义法或 3、等差数列的通项：或。 ①当时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差； 4、等差数列的前和：，。 ①前和是关于的二次函数且常数项为0. 5、等差中项：若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且。 ①当时,则有，特别地，当时，则有. 6、若是等差数列 ， ，…也成等差数列. 二、等比数列 1、等比数列的判断方法：定义法 2、等比数列的通项：或。 3、等比数列的前和： ①当时，；②当时，。 4、等比中项：若成等比数列，则A叫做与的等比中项，且。 ①当时，则有。 5、 若是等比数列 ， ，…也成等比数列. 【重难点题型突破】： 1、 等差数列与等比数列 例1．（1）（2021·江西景德镇市·景德镇一中高一期末（理））设等差数列的前项和为，若，，则当取得最大值时，的值为（ ） A．7 B．8 C．9 D．8或9 【答案】D 【分析】 根据求得，结合，判断数列单减，从而判断取得最大值时，的值. 【详解】 由题知，，则， 等差数列的公差d满足，数列单减， 且，，则当取得最大值时，的值为8或9 故选：D （2）．（2020·吉林东北师大附中高二期末（文））已知为等差数列的前项和，若，，则（ ） A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】C 【分析】 利用等差数列前项和公式与通项公式建立方程组求出首项和公差，再求解即可. 【详解】 由题意知： ， 故 即 解得 故选：C. 【变式训练1-1】.（2021·江西抚州市·高一期末）等差数列中的前n项和为，已知，，，则以下选项中最大的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用等差数列前项和公式以及等差数列下标和性质分析出的单调性以及项的取值正负，从而确定出，由此可得选项. 【详解】 因为，所以，所以， 又因为，所以，所以， 又，所以， 所以为递减数列，且前项为正值，从第项开始为负值， 所以， 故选：C. 2、 求数列的通项公式 1、累加法、累乘法求数列的通项公式 例2．（2021·全国高二课时练习）（1）已知数列{an}满足，，n∈N*，求数列的通项公式an. （2）在数列{an}中，a1=1，(n≥2)，求数列{an}的通项公式. 【答案】（1）；（2）an=. 【分析】 （1）先将递推公式化为，再利用累加法求通项公式; （2）先将递推公式化为，再利用累乘法求通项公式. 【详解】 （1）， ， 将以上个式子相加， 得 ， 即. . 又当n=1时，也符合上式，. （2）因为a1=1，(n≥2)，所以， 所以 ·…··1=. 又因为当n=1时，a1=1，符合上式， 所以an=. 【变式训练2-1】．（2021·全国高三专题练习）设数列满足，. （1）求数列的通项公式; （2）令，求数列的前项和. 【答案】（1），；（2），. 【分析】 （1）利用累加法求通项公式； （2）利用错位相减法以及等比数列求和公式即可得出. 【详解】 （1）由已知，当时，， 当时，符合上式， ，. （2）由（1）知， ① ② ①-②得 所以，，. 【变式训练2-2】．（2021·河南高二期中（文））已知数列满足，(，)，则数列的通项（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 直接利用累乘法的应用求出数列的通项公式． 【详解】 解：数列满足，， 整理得，，，， 所有的项相乘得：， 整理得：， 故选：． 2、已知前n项和求数列的通项公式 例3．（2020·扬州市第一中学高二月考）已知数列的前项和为. （1）求出的通项公式； （2）求数列前n项和最小时n的取值 【答案】（1）；（2）当或时，数列前n项和取得最小值. 【分析】 （1）根据，分别讨论，两种情况，根据与的关系即可求出结果； （2）根据等差数列前项和的函数特征，即可得出结果. 【详解】 （1）因为， 所以当时，； 当时，； 显然是，也满足， 所以； (2) 因为， 所以数列为等差数列，其前n项和 又，所以当或时，取得最小值. 【变式训练3-1】．（2021·四川成都市·成都七中高三月考（理））数列满足，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由已知条件计算出数列的通项公式，然后运用裂项求和法求出结果，注意的情况进行分类讨论. 【详解】 ，取， 相减， ， 则推出 当时， 原式 故选：A 【变式训练3-2】．（2021·江西