专题03 数列的综合应用与数列求和（分层训练）-【教育机构专用】2021年暑期高一升高二数学辅导讲义（人教A版）

专题03 数列的综合应用与数列求和 A组 基础巩固 1．（2021·青铜峡市高级中学高一期末）设等差数列的前项和为，若，则=（ ） A．21 B．15 C．13 D．11 【答案】A 【分析】 利用等差数列的前n项和的性质求解. 【详解】 因为数列是等差数列， 所以成等差数列， 所以， 因为， 所以， 解得， 故选：A ，. 故选：A. 2．（2020·镇江崇实女子中学高三月考）已知函数，数列满足，则数列的前2019项和为（ ） A． B．1010 C． D．1011 【答案】A 【分析】 根据函数结构特征，得到，再将该式子用于求和. 【详解】 因为，所以， 有. 记数列的前项和，又，所以 . 所以. 故选：A. 3．（2021·江西省万载中学高一期末（文））正项等比数列满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用等比数列的性质求出的值，再将所求和式利用对数运算法则变形，借助等比数列性质即可作答. 【详解】 设正项等比数列公比为，则， 因，则， 所以. 故选：A 4．（2021·河南洛阳市·高二月考（文））十九世纪下半叶集合论的创立，莫定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于8，则需要操作的次数的最小值为（ ） 参考数据： A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】 由题意，先求出前几次操作去掉的区间长度，然后总结出第次操作去掉的区间的长度为，把次操作去掉的区间的长度之和转化为求等比数列的前项和，再求解不等式即可. 【详解】 解：记为第次去掉的长度，，剩下两条长度为的线段，第二次去掉的线段长为，…，第次操作后有条线段，每条线段长度为， 因此第次去掉的线段长度为， 所以，， 不等式两边同取常用对数有：，则， 所以的最小值为6． 故选：C． 5．（2021·河南洛阳市·高三其他模拟（理））已知等差数列的前项和为，若，，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由等差数列的前项和性质，求出，进而得到. 【详解】 由等差数列的前项和性质， 得：，，也成等差数列， 即， 又因，，则解得， 因此. 故选：C. 6．（2021·黑龙江大庆市·铁人中学高三其他模拟（文））设等差数列的前项和为，其中，，则=（ ） A．9 B．18 C．27 D．36 【答案】D 【分析】 利用等差数列的性质，得到成等差数列，进而可求解 【详解】 根据等差数列的性质，成等差数列，所以，成等差数列，进而得到，所以， 故选：D 7．（2020·陕西西北工业大学附属中学高二期中（文））已知正项等比数列满足：，若存在两项、使得，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】 由条件先求出公比，由等比数列通项公式得出满足的关系，然后由基本不等式得最值． 【详解】 设等比数列的公比为，由得， 解得（舍去），∴， 由得，∴， 所以， 当且仅当，即时等号成立． 所以的最小值是． 故答案为：． 8．（2021·江苏高考真题）已知等比数列的公比为，且，，成等差数列，则的值是___________. 【答案】4 【分析】 根据三数成等差数列列等式，再将，用含和的式子表示，代入等式求解. 【详解】 因为为等比数列，且公比为， 所以，且，. 因为，，成等差数列， 所以， 有，， 解得. 9．（2020·辽宁大连市·育明高中高三期中）已知数列满足，（）． （1）求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式； （2）若数列满足，．求证：①；②． 【答案】（1）证明见解析；；（2）证明见解析. 【分析】 （1）把已知条件变形得到，从而证明数列为等差数列；并通过求数列的通项公式来求数列的通项公式； （2）①由题设条件写出三者关系式即可证明结论； ②利用①中的结论，根据累加法可求出的值，再利用基本不等式求证出结论. 【详解】 （1）因为，所以， 所以，即， 所以，即， 所以，即， 又，所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，即. （2）①由（1）知：，所以， 所以， 两式相减，得，即， 所以； ②因为，，所以，且数列为正项数列. 由①知：， 所以由累加法，可得 ，当且仅当时等号成立. 10．（2021·江西景德镇市·景德镇一中高二期末（文））已知数列是正项等比数列，，且，，成等差数列. （1）求的通项公式； （2）