专题03 勾股定理中的翻折和旋转问题-【重难点突破】2021-2022学年八年级数学上册常考题专练（北师大版）

专题03 勾股定理中的折叠和旋转问题 题型一 勾股定理中的折叠问题 1．如图，矩形纸片中，，，折叠纸片使边与对角线重合，折痕为，则的长为　　 A．1 B． C． D．2 【解答】解：由已知可得，△， ，，， 在△中，可得，． 则． 故选：． 2．如图，矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为　10　． 【解答】解：易证， ， 设，则， 在中，， 解之得：， ， ． 故答案为：10． 3．如图将矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上处，已知，，则　6　． 【解答】解：由折叠的性质知：，； 在中，，，由勾股定理可得：， 若设，则，； 在中，由勾股定理可得： ，解得， 故． 故答案为：6． 4．如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边，，将直角边折叠使它落在斜边上，折痕为，则　3　． 【解答】解：设点落在上的点处，连接，如图所示， 为直角三角形，，， 根据勾股定理得：， 设，由折叠可知：，， 可得：，， 在中， 根据勾股定理得：， 解得：， 则． 故答案为：3． 5．如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的处，点对应点为，且，则的长是　　 A．1.5 B．2 C．2.25 D．2.5 【解答】解：设， 连接，， 在中，， 在中，， ， ， 即， 解得， 即， 故选：． 6．如图，将边长为的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在处，折痕为，则线段长是　　 A． B． C． D． 【解答】解：设，则，由折叠的性质知， 而，在中，由勾股定理可知，即， 整理得，所以． 故选：． 7．如图，将矩形的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形，，，则边的长度等于　　 A． B． C． D． 【解答】解：如图所示：设上两个点分别为、， 点是点对折过去的， 为直角，， ，， 同理， ， ， 点也是点对折过去的， ， ， ，， ， ， ， ． 故选：． 8．已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为　　 A． B． C． D． 【解答】解：将此长方形折叠，使点与点重合，． ． ， 根据勾股定理可知． 解得． 的面积为．故选：． 9．如图，的三边分别为，，，将沿折叠，使落在上． （1）试判断的形状，并说明理由； （2）求折痕的长． 【解答】解：（1）是直角三角形；（1分） ，（2分） ； 是直角三角形．（1分） （2）设折叠后点与上的点重合． 设，则，，，； ， 在中，， 解得：，（3分） ．（3分） 10．如图，把矩形纸片沿折叠后，使得点与点重合，点落在点的位置上． （1）是等腰三角形吗？试说明理由； （2）若，，求的长度． 【解答】解：（1）由翻折的性质得：， 四边形为矩形， ． ． ． ． 是等腰三角形； （2）利用勾股定理可得， 由（1）可得， 所以． 11．如图，在长方形纸片中，，，将它沿着对角线对折，使折到，求： （1）线段的长度； （2）求点到直线的距离． 【解答】解：（1）， ， 由折叠的性质可知，， ， ， 在中，，即， 解得，； （2）设点到直线的距离为， ， 由三角形的面积可知，， 则． 12．如图，将矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上点处，已知，，求图中阴影部分的面积． 【解答】解：由折叠可知和关于成轴对称， 故，． 所以， 设，则． 在中，由勾股定理，得． 解得，故． 所以阴影部分的面积为：． 13．如图，将边长为的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在处，折痕为． （1）求线段长． （2）连接，并求的长． 【解答】解：（1）设，则．由翻折的性质可知：． 在中，由勾股定理可知：，， 解得：，即． （2）如图所示，连接． 在三角形中，． 由翻折的性质可知． 14．如图，折叠矩形的一边，使点落在边上的点处，已知，， （1）求长度； （2）求的长度． 【解答】解：（1）设，， 在中，， （2）． 在中，，即， 解得． 故的长为． 15．如图，，，，将边沿翻折，使点落在上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、，则线段的长为　　 A． B． C． D． 【解答】解：中，，，， 由勾股定理可得， 将边沿翻折，使点落在上的点处， ，， ， ， ， 在中，， 将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处， ，， ， ， 又， ， ， ， ， 故选：． 16．如图，已知正方形的边长为12，，将正方形的边沿折叠到，延长交于，连接．现有如下3个结论：①；②；③五边形的周长是44，其中正确的个数为　　 A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】解：由折叠可知： ，，， ， 在和中， ， ， ， ，故①正确； ， ， 由折叠可得，， ，故②正确； 正方形边长是12， ， 设，则，， 由勾股定理得：， 即：， 解得：， ，，， 五边形的周长是：，故③正确