专题02 勾股定理逆定理的应用-【重难点突破】2021-2022学年八年级数学上册常考题专练（北师大版）

专题02 勾股定理逆定理的应用 题型一 勾股数的应用 1．我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”． 观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过． （1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：　11，60，61　； （2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为　　和　　． 【解答】解：（1）11，60，61； 故答案为：11，60，61． （2）后两个数表示为和， ∵n2+（）2＝n2+＝，（）2＝， ∴n2+（）2＝（）2． 又∵n≥3，且n为奇数， ∴由n，，三个数组成的数是勾股数． 故答案为：，． 2．勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时明《周牌算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“正整数直角三角形”，这三个正整数叫做一组“勾股数”，如：3，4，5；5，12，13；7，24，25等都是勾股数． （1）小欢在研究勾股数时发现，某些正整数直角三角形的斜边能写成两个整数的平方和，有一条直角边能写成这两个整数的平方差，我们这样的勾股数叫做完美勾股数．如3，4，5中，5＝22+12，3＝22﹣12；5，12，13中，13＝32+22，5＝32﹣22．判断8，15，17和9，40，41这两组勾股数是不是完美勾股数，并说明理由； （2）有一个直角三角形两直角边长分别为和，斜边长为4，且a和b均为正整数，用含b的代数式表示a，并求出a和b的值． 【解答】解：（1）∵17＝42+12，15＝82﹣72， ∴8，15，17是完美勾股数； ∵41＝52+42，9＝52﹣42， ∴9，40，41是完美勾股数； （2）由勾股定理得： 7a﹣7+（150﹣30b）＝16×15， ∴a＝， 由题意可知：7a﹣7＞0，150﹣30b＞0 ∴a＞1，0＜b＜5 ∵a和b均为正整数 ∴b的可能值为：1，2，3，4． 当b＝1时，a＝＝，不是正整数，故b＝1不符合题意； 当b＝2时，a＝＝，不是正整数，故b＝2不符合题意； 当b＝3时，a＝＝，不是正整数，故b＝3不符合题意； 当b＝4时，a＝＝31，是正整数，此时，＝，＝， ∵（）2+（）2＝240，（4 ）2＝240， ∴（ ）2+（）2＝（4 ）2， ∴b＝4符合题意． ∴a＝；a＝31，b＝4． 3．如果正整数a、b、c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（　　） A．47 B．62 C．79 D．98 【解答】解：由题可得，3＝22﹣1，4＝2×2，5＝22+1，…… ∴a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1， ∴当c＝n2+1＝65时，n＝8， ∴x＝63，y＝16， ∴x+y＝79， 故选：C． 4．探索勾股数的规律：观察下列各组数：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）…请写出下一数组：　（11，60，61）　． 【解答】解：∵（3，4，5）：3＝2×1+1，4＝2×12+2×1，5＝2×12+2×1+1； （5，12，13）：5＝2×2+1，12＝2×22+2×2，13＝2×22+2×2+1； （7，24，25）：7＝2×3+1，24＝2×32+2×3，25＝2×32+2×3+1； （9，40，41）：9＝2×4+1，40＝2×42+2×4，41＝2×42+2×4+1； ∴下一组数为：11＝2×5+1，60＝2×52+2×5，61＝2×52+2×5+1， 故答案为：（11，60，61）． 5．观察下列各组勾股数，并寻找规律： ①4，3，5； ②6，8，10； ③8，15，17； ④10，24，26…… 请根据你发现的规律写出第⑦组勾股数：　16，63，65　． 【解答】解：观察前4组数据的规律可知：第一个数是2（n+1）；第二个是：n（n+2）；第三个数是：（n+1）2+1． 所以第⑦组勾股数：16，63，65． 故答案为：16，63，65． 6．观察下列等式：32+42＝52；52+122＝132；72+242＝252；92+402＝412；112+602＝612…按照这样的规律，第六个等式是　132+842＝852　． 【解答】解：∵第一个等式是：32+42＝52； 第二个等式是52+122＝132； 第三个等式是72+242＝252； 第四个等式是92+402＝412； 第五个等式是112+602＝612… 按照这样的规律，第六个等式是：132+842＝852， 故答案为：132+842＝852． 7．勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期算书《周髀