专题01 勾股定理的基本应用-【重难点突破】2021-2022学年八年级数学上册常考题专练（北师大版）

专题01 勾股定理的基本应用 题型一 求线段长 1．如图，小方格都是边长为1的正方形，则△ABC中BC边上的高是（　　） A．1.6 B．1.4 C．1.5 D．2 【解答】解：∵BC＝＝5， ∵S△ABC＝4×4﹣×1×1﹣×3×4﹣×3×4＝， ∴△ABC中BC边上的高＝＝， 故选：B． 2．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x、y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：①x2+y2＝49，②x﹣y＝2，③2xy+4＝49，④x+y＝9．其中说法正确的是（　　） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【解答】解：由题意， ①﹣②得2xy＝45 ③， ∴2xy+4＝49， ①+③得x2+2xy+y2＝94， ∴（x+y）2＝94， ∴①②③正确，④错误． 故选：B． 3．如图，在△ABC中，CE是AB边上的中线，CD⊥AB于D，且AB＝5，BC＝4，AC＝6，则DE的长　2　． 【解答】解：设BD＝x，则AD＝5﹣x， 在Rt△ACD中，CD2＝AC2﹣AD2， 在Rt△BCD中，CD2＝BC2﹣BD2， ∴AC2﹣AD2＝BC2﹣BD2，即62﹣（5﹣x）2＝42﹣x2， 解得，x＝， 则BD＝， ∴DE＝BE﹣BD＝2， 贵答案为：2． 4．直角三角形两直角边的和为17，斜边长为13，则这个直角三角形的面积为　30　，斜边上的高为　　． 【解答】解：设两直角边为a、b（a＞b）， 由题意知a+b＝17①， ∵斜边长为13， ∴a2+b2＝132②， 联立①、②解得：a＝12、b＝5， 所以这个直角三角形的面积为S＝ab＝30． 斜边上的高为：． 故答案为：30、． 5．如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图所示： S△ABC＝×BC×AE＝×BD×AC， ∵AE＝4，AC＝＝5，BC＝4 即×4×4＝×5×BD， 解得：BD＝． 故选：C． 6．如图，在△ABC中，BC＝2，∠C＝45°，若D是AC的三等分点（AD＞CD），且AB＝BD，则AB的长为（　　） A．2 B． C． D． 【解答】解：过B作BE⊥AC于E， ∵AB＝BD，BE⊥AC， ∴∠AEB＝∠BEC＝90°，AE＝DE， ∵D是AC的三等分点（AD＞CD）， ∴AE＝DE＝DC， 在Rt△BEC中，BC＝2，∠C＝45°， ∴∠EBC＝∠C＝45°， ∴BE＝CE， 由勾股定理得：2BE2＝DC2＝（2）2＝8， 解得：BE＝EC＝2， ∴AE＝1， 在Rt△AEB中，由勾股定理得：AB＝＝＝， 故选：B． 7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，则AB边上的高CD的长为（　　） A．4 B． C．3 D．10 【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，则由勾股定理得到：AB＝＝＝10． ∵S△ABC＝AB•CD＝AC•BC， ∴CD＝＝＝． 故选：B． 8．在△ABC中，AB＝25，AC＝26，BC边上的高AD＝24，则△ABC的周长为　68或54　． 【解答】解：①如果角B是锐角，此时高AD在三角形的内部， 在Rt△ABD中，BD＝，在Rt△ACD中，CD＝， ∴BC＝7+10＝17，此时△ABC的周长＝AB+AC+BC＝68； ②如果角B是钝角， 在Rt△ABD中，BD＝，在Rt△ACD中，CD＝， ∴BC＝10﹣7＝3，此时△ABC的周长＝AB+AC+BC＝54； 综上可得△ABC的周长为68或54． 故答案为：68或54． 9．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，AC＝，以BC为斜边作等腰Rt△BCD，连接AD，则线段AD的长为　或　． 【解答】解：当点D在BC的下方，如图， 过D 作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， 则四边形AEDF是矩形， ∴∠EDF＝90°， ∵∠BDC＝90°， ∴∠BDE＝∠CDF， ∵∠BED＝∠CFD＝90°，BD＝DC， ∴△BDE≌△CDF（AAS）， ∴DE＝DF，BE＝CF， ∴∠DAE＝∠DAF＝45°， ∴AE＝AF， ∴2﹣BE＝+BE， ∴BE＝， ∴AE＝， ∴AD＝AE＝， 当点D在BC的上方，如图， 作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， 则四边形AEDF是矩形， ∴∠EDF＝90°， ∵∠BDC＝90°， ∴∠BDE＝∠CDF， ∵∠BED＝∠CFD＝90°，BD＝DC， ∴△BDE≌△CDF（AAS）， ∴DE＝DF，BE＝CF， ∴∠DAE＝∠DAF＝45°， ∴AE＝AF， ∴2﹣BE＝BE﹣， ∴BE＝， ∴AE