专题01 通过空间向量解决立体几何中的角度问题（高考真题专练）-【重难点突破】2021-2022学年高二数学上册常考题专练（人教A版2019选择性必修第一册）

专题01 通过空间向量解决立体几何中的角度问题（高考真题专练） 题型一 直线与平面所成的角 1．（2020•海南）如图，四棱锥的底面为正方形，底面．设平面与平面的交线为． （1）证明：平面； （2）已知，为上的点，，求与平面所成角的正弦值． 2．（2020•山东）如图，四棱锥的底面为正方形，底面．设平面与平面的交线为． （1）证明：平面； （2）已知，为上的点，求与平面所成角的正弦值的最大值． 3．（2020•天津）如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求二面角的正弦值； （Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值． 4．（2021•浙江）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，，，分别为，的中点，，． （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． 5．（2018•浙江）如图，已知多面体，，，均垂直于平面，，，，． （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）求直线与平面所成的角的正弦值． 题型二 二面角的平面角及求法 6．（2021•新高考Ⅱ）在四棱锥中，底面是正方形，若，，． （Ⅰ）求证：平面平面； （Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值． 7．（2020•新课标Ⅰ）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，．是底面的内接正三角形，为上一点，． （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值． 8．（2019•新课标Ⅱ）如图，长方体的底面是正方形，点在棱上，． （1）证明：平面； （2）若，求二面角的正弦值． 9．（2021•天津）如图，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求二面角的正弦值． 10．（2021•北京）已知正方体，点为中点，直线交平面于点． （1）求证：点为中点； （2）若点为棱上一点，且二面角的余弦值为，求． 11．（2021•乙卷）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为中点，且． （1）求； （2）求二面角的正弦值． 12．（2021•甲卷）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为和的中点，为棱上的点，． （1）证明：； （2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小？ 13．（2019•新课标Ⅰ）如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，，，分别是，，的中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值． 14．（2021•新高考Ⅰ）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点． （1）证明：； （2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积． 15．（2020•江苏）在三棱锥中，已知，，为的中点，平面，，为中点． （1）求直线与所成角的余弦值； （2）若点在上，满足，设二面角的大小为，求的值． 16．（2020•新课标Ⅲ）如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且，． （1）证明：点在平面内； （2）若，，，求二面角的正弦值． 17．（2019•天津）如图，平面，，，，，． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值； （Ⅲ）若二面角的余弦值为，求线段的长． 18．（2019•新课标Ⅲ）图1是由矩形、和菱形组成的一个平面图形，其中，，．将其沿，折起使得与重合，连结，如图2． （1）证明：图2中的，，，四点共面，且平面平面； （2）求图2中的二面角的大小． 19．（2018•新课标Ⅲ）如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点． （1）证明：平面平面； （2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值． 20．（2018•新课标Ⅱ）如图，在三棱锥中，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值． 21．（2019•北京）如图，在四棱锥中，平面，，，，．为的中点，点在上，且． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值； （Ⅲ）设点在上，且．判断直线是否在平面内，说明理由． 2 / 3 原创原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $ 专题01 通过空间向量解决立体几何中的角度问题（高考真题专练） 题型一 直线与平面所成的角 1．（2020•海南）如图，四棱锥的底面为正方形，底面．设平面与平面的交线为． （1）证明：平面； （2）已知，为上的点，，求与平面所成角的正弦值． 【解答】（1）证明：过在平面内作直线， 由，可得，即为平面和平面的交线， 平面，平面，， 又，，平面， ，平面； （2）解：如图，以为坐标原点，直线，，所在的直线为，，轴，建立空间直角坐标系， ，为上的点，， ，， 则，0，，，0，，，1，，，0，，，1，，作，则为平面与平面的交线为，因为，是等腰直角三角形，所以，0，， 则，0，，，1，，，1，， 设平面的法向量为，，， 则，，取，可得，0，， ，， 与平面所成角的正弦值为．