1.2 （分层练）空间向量基本定理-2021-2022学年高二数学考点同步解读与训练（人教A版2019选择性必修第一册）

2021-2022年高二数学考点同步解读与训练 1.2 （分层练）空间向量基本定理 题型一 空间向量基底概念及辨析 1．下列结论错误的是（ ）. A．三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面 B．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 C．若､是两个不共线的向量，且(且)，则构成空间的一个基底 D．若､､不能构成空间的一个基底，则､､､四点共面 【答案】C 【解析】A选项，三个非零向量能构成空间的一个基底，则三个非零向量不共面，故A正确； B选项，三个非零向量不共面，则此三个向量可以构成空间的一个基底，若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这三个向量共面，则已知的两个向量共线，如图，故B正确； C选项，∵ 满足，∴，，共面，不能构成基底，故C错误， D选项，因为､､共起点，若，，，四点不共面，则必能作为空间的一个基底，故D正确， 故选C. 2．下列能使向量，，成为空间的一个基底的关系式是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A：由，可得M，A，B，C四点共面，即共面， 所以选项A无法构成基底，选项C可以构成基底； 对于B：因为，由平面向量基本定理，可得共面，无法构成基底，故B错误； 同理选项D中，共面，故D错误. 故选：C 3．给出下列命题，其中正确的有（ ） A．空间任意三个向量都可以作为一组基底 B．已知向量，则、与任何向量都不能构成空间的一组基底 C．，，，是空间四点，若，，不能构成空间的一组基底，则，，，共面 D．已知是空间向量的一组基底，若，则也是空间一组基底 【答案】BCD 【解析】选项A中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所以A不正确； 选项B中，根据空间基底的概念，可得B正确； 选项C中，由不能构成空间的一个基底，可得共面，又由过相同点B，可得四点共面，所以C正确； 选项D中：由是空间的一个基底，则基向量与向量一定不共面，所以可以构成空间另一个基底，所以D正确． 故选：BCD. 4．下列关于空间向量的命题中，正确的有______． ①若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则； ②若非零向量，，满足，，则有； ③若，，是空间的一组基底，且，则，，，四点共面； ④若向量，，，是空间一组基底，则，，也是空间的一组基底． 【答案】①③④ 【解析】对于①：若向量， 与空间任意向量都不能构成基底，只能两个向量为共线向量，即，故①正确； 对于②：若非零向量，，满足，，则与不一定共线，故②错误； 对于③：若，，是空间的一组基底，且， 则，即， 可得到，四点共面，故③正确； 对于④：若向量，，，是空间一组基底，则空间任意一个向量 ， 存在唯一实数组，使得， 由的唯一性，则，，也是唯一的 则，，也是空间的一组基底，故④正确． 故答案为：①③④ 5．如图，已知平行六面体，点G是侧面的中心，且，，． （1）是否构成空间的一个基底？ （2）如果构成空间的一个基底，那么用它表示下列向量：，，，． 【答案】（1）能；（2）；；； 【解析】（1），，不在同一平面内，且不为零向量，能构成空间的一个基底； （2）， ， ， . 题型二 用空间基底表示向量 6．如图：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， ， ， ， 故选：A. 7．已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是OA，BC的中点，点G在线段MN上，且，现用基底{}表示向量，有=x+y+z，则x，y，z的值分别为____． 【答案】x=，y=，z=． 【解析】∵=+=+=+ += ∴x=，y=，z=． 故答案为：x=，y=，z=． 8．如图所示，M，N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点，用向量表示和，则__________________；____________________ 【答案】 【解析】 ； . 故答案为：；. 9．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设，E，F分别是AD1，BD的中点． （1）用向量表示，； （2）若，求实数x，y，z的值． 【答案】（1），；（2）． 【解析】解：（1）, （2） 所以 10．如图，在空间平移到，连接对应顶点，设，，，M是的中点，N是的中点，用基底表示向量，． 【答案】，. 【解析】 . . 题型三 空间向量基本定理及应用 11．若是平面α内的两个向量，则（ ） A．α内任一向量(λ，μ∈R) B．若存在λ，μ∈R使＝，则λ＝μ＝0 C．若不共线，则空间任一向量 (λ，μ∈R) D．若不共线，则α内任一向量