专题02《展开与折叠》(精编讲义)-【暑期精品课】2021年小升初数学衔接精编讲义（北师大版）

2021年北师大版暑假小升初数学衔接精编讲义 专题02《展开与折叠》 1．了解直棱柱、圆柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图想象和制作立体模型． 要点1：展开与折叠 有些立体图形是由一些平面图形围成，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图． 要点分析： (1)不是所有的立体图形都可以展成平面图形．例如，球便不能展成平面图形． (2)不同的立体图形可展成不同的平面图形；同一个立体图形，沿不同的棱剪开，也可得到不同的平面图． 【典型例题1】（2021•顺义区二模）如图是某个几何体的展开图，该几何体是 　　 A．三棱柱 B．四棱柱 C．圆柱 D．圆锥 【完整解答】从展开图可知，该几何体有五个面，两个三角形的底面，三个长方形的侧面，因此该几何体是三棱柱， 故选： ． 【典型例题2】（2020秋•中原区校级月考）如图①所示，从大正方体中截去一个小正方体之后，可以得到图②的几何体． （1）设原大正方体的表面积为 ，图②中几何体的表面积为 ，那么 与 的大小关系是　 　； ． ； ． ； ． ； ．无法判断． （2）小明说“设图①中大正方体的棱长之和为 ，图②中几何体的各棱长之和为 ，那么 比 正好多出大正方体的3条棱的长度．”你认为小明的说法正确吗？为什么？ （3）如果截去的小正方体的棱长为大正方体的棱长的一半，那么图③是图②几何体的表面展开图吗？如有错误，请予修正． 【完整解答】（1）根据“切去三个小面”但又“新增三个小面”，因此与原来的表面积相等，即 ， 故答案为： ； （2）如图②红颜色的棱是多出来的，共6条， 如果截去的小正方体的棱长为大正方体的棱长的一半时， 比 正好多出大正方体的3条棱的长度， 如果截去的小正方体的棱长不是大正方体的棱长的一半， 比 就不是多出大正方体的3条棱的长度， 故小明的说法是不正确的； （3）图③不是图②几何体的表面展开图，改后的图形，如图所示． 【变式训练1】（2020秋•含山县期末）图1是一个正方体的展开图，该正方体从图2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，此时这个正方体朝上一面的字是　我　． 【完整解答】由图1可得，“中”和“的”相对；“国”和“我”相对；“梦”和“梦”相对； 由图2可得，该正方体从图2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格时，“国”在下面，则这时小正方体朝上一面的字是“我”． 故答案为：我． 【变式训练2】（2019秋•济源期末）如图是一个无盖的长方体盒子的展开图（重叠部分不计），根据图中数据，则该无盖长方体盒子的容积为　 　． 【完整解答】长方体的高是 ，宽是 ，长是 ， 长方体的容积是 ， 故答案为： ． 【变式训练3】（2020秋•碑林区校级月考）某产品的形状是长方体，长为 ，它的展开图如图所示，求长方体的体积． 【完整解答】设宽为 EMBED Equation.DSMT4 ，高为 EMBED Equation.DSMT4 ，由题意可得， ， 解得 ， ， 所以长方体的体积为： ， 答：这个长方体的体积为 ． 【典型例题1】（2020秋•成都月考）如图形状的四张纸板，按图中线经过折叠可以围成一个直三棱柱的是 　　 A． B． C． D． 【完整解答】 、围成三棱柱时，两个三角形重合为同一底面，而另一底面没有，故不能围成直三棱柱； 、 的两底面不是三角形，故也不能围成直三棱柱； 只有 经过折叠可以围成一个直三棱柱． 故选： ． 【典型例题2】（2020秋•碑林区校级月考）如图①，是一个边长为 正方形，按要求解答下列问题： （1）如图②，若将该正方形沿粗黑实线剪下4个边长为　2.5　 的小正方形，拼成一个大正方形作为直四棱柱的一个底面，余下部分按虚线折叠成一个无盖直四棱柱，最后把两部分拼在一起，组成一个完整的直四棱柱，它的表面积等于原正方形的面积； （2）若该正方形是一个圆柱的侧面展开图，求该圆柱的体积．（结果保留 【完整解答】（1）设粗黑实线剪下4个边长为 的小正方形， 根据题意列方程 解得 ， 故答案为：2.5； （2） 正方形边长为 ， 圆柱的底面半径是 ， 圆柱的体积是 ． 答：圆柱的体积是 ． 【变式训练1】（2019秋•叶县期末）小明用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图．拼完后，小明看来看去觉得所拼图形似乎存在问题． （1）请你帮小明分析一下拼图是否存在问题：若有多余块，则把图中多余部分涂黑；若还缺少，则直接在原图中补全； （2）若图中的正方形边长 ，长方形的长为 ，宽为 ，请求出修正后所折叠而成的长方体的表面积和体积． 【完整解答】（1）多余一个正方形如图所示； （2）表面积 ． 折叠而成的长方体的体积 ． 【变式训练2】（2018秋•嵩县期末）如果